Piani equidistanti (classico)
Piani equidistanti (classico)
Sono dati 4 punti dello spazio, non tutti complanari. Quanti sono i piani che siano equidistanti da tutti e quattro i punti?
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
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pauk94 abiuso
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Dio:“La dimostrazione di esistenza è una negazione della fede,senza la fede io non esisto”Uomo:”il Babelfish è chiara dimostrazione della Tua esistenza:non avrebbe mai potuto evolversi x caso.Dimostra ke esisti,e dunque Tu,x via di quanto Tu stesso asserisci a proposito delle dimostrazioni,non esisti”.Dio:”Non ci avevo pensato!”e sparisce immediatamente in una nuvoletta di logica.Uomo:”Com’è stato facile!”e passa a dimostrare che il nero è bianco,x poi finire ucciso sulle prime strisce pedonali ke incontra.
(La butto lì; mi sembra più combinatoria che geometria)
Se esiste un piano, che chiamo $ \alpha $, equidistante dai quattro punti dati, allora i punti non possono trovarsi dalla stessa parte dello spazio rispetto ad $ \alpha $; infatti, se fossero tutti dalla stessa parte, allora apparterrebbero tutti a un piano $ \beta $ parallelo ad $ \alpha $, il che è contrario all'ipotesi.
Perciò le posizioni del piano $ \alpha $ rispetto ai punti possono essere di due tipi: tre punti si trovano da una parte rispetto ad $ \alpha $ e il quarto punto si trova dall'altra parte, oppure due punti si trovano da una parte e gli altri due dall'altra.
Consideriamo il primo caso: per assioma, tre punti distinti appartengono sempre a uno e un solo piano; pertanto, scegliendo tre qualsiasi dei quattro punti, esiste un piano $ \alpha' $ passante per essi ed esiste un piano $ \alpha'' $ parallelo a esso e passante per il quarto punto; il piano $ \alpha $ cercato, pertanto, esiste ed è parallelo ed equidistante dai piani $ \alpha' $ e $ \alpha'' $. Perciò, in questo primo caso, esistono 4 piani che rispettano le condizioni poste, uno per ogni diversa scelta del punto "isolato".
Consideriamo il secondo caso: per assioma, per due punti distinti passa sempre una e una sola retta; se ci sono due punti in ognuna delle due regioni dello spazio individuate dal piano $ \alpha $, allora possiamo individuare due rette $ r $ ed $ s $, ciascuna passante per i due punti dalla stessa parte rispetto al piano. Se due punti appartenenti alla stessa retta sono equidistanti dal piano, allora la retta è perpendicolare al piano; perciò il piano $ \alpha $ deve necessariamente essere parallelo sia a $ s $ sia a $ r $. Esistono infiniti piani che soddisfano questa condizione, e, tra questi, il piano $ \alpha $ è quello equidistante da entrambe le rette. Perciò, in questo caso, esistono 6 piani che rispettano le condizioni poste, poiché esistono 6 modi di scegliere 2 punti tra 4.
Alla fine, quindi, ottengo 4+6=10 piani. Potrebbe essere?
Se esiste un piano, che chiamo $ \alpha $, equidistante dai quattro punti dati, allora i punti non possono trovarsi dalla stessa parte dello spazio rispetto ad $ \alpha $; infatti, se fossero tutti dalla stessa parte, allora apparterrebbero tutti a un piano $ \beta $ parallelo ad $ \alpha $, il che è contrario all'ipotesi.
Perciò le posizioni del piano $ \alpha $ rispetto ai punti possono essere di due tipi: tre punti si trovano da una parte rispetto ad $ \alpha $ e il quarto punto si trova dall'altra parte, oppure due punti si trovano da una parte e gli altri due dall'altra.
Consideriamo il primo caso: per assioma, tre punti distinti appartengono sempre a uno e un solo piano; pertanto, scegliendo tre qualsiasi dei quattro punti, esiste un piano $ \alpha' $ passante per essi ed esiste un piano $ \alpha'' $ parallelo a esso e passante per il quarto punto; il piano $ \alpha $ cercato, pertanto, esiste ed è parallelo ed equidistante dai piani $ \alpha' $ e $ \alpha'' $. Perciò, in questo primo caso, esistono 4 piani che rispettano le condizioni poste, uno per ogni diversa scelta del punto "isolato".
Consideriamo il secondo caso: per assioma, per due punti distinti passa sempre una e una sola retta; se ci sono due punti in ognuna delle due regioni dello spazio individuate dal piano $ \alpha $, allora possiamo individuare due rette $ r $ ed $ s $, ciascuna passante per i due punti dalla stessa parte rispetto al piano. Se due punti appartenenti alla stessa retta sono equidistanti dal piano, allora la retta è perpendicolare al piano; perciò il piano $ \alpha $ deve necessariamente essere parallelo sia a $ s $ sia a $ r $. Esistono infiniti piani che soddisfano questa condizione, e, tra questi, il piano $ \alpha $ è quello equidistante da entrambe le rette. Perciò, in questo caso, esistono 6 piani che rispettano le condizioni poste, poiché esistono 6 modi di scegliere 2 punti tra 4.
Alla fine, quindi, ottengo 4+6=10 piani. Potrebbe essere?
Non ci siamo ancora. L'idea di Giulio_C è giusta ma c'è un errore nel conteggio dei piani.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
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pauk94 abiuso
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Diamine, avevo fatto lo stesso ragionamento, solo che ne avevo contato solo 1 nella prima parte... 
Cmq ora mi esce 7, perché nella seconda parte conti 2 volte le stesse possibilità.
Cmq ora mi esce 7, perché nella seconda parte conti 2 volte le stesse possibilità.
Dio:“La dimostrazione di esistenza è una negazione della fede,senza la fede io non esisto”Uomo:”il Babelfish è chiara dimostrazione della Tua esistenza:non avrebbe mai potuto evolversi x caso.Dimostra ke esisti,e dunque Tu,x via di quanto Tu stesso asserisci a proposito delle dimostrazioni,non esisti”.Dio:”Non ci avevo pensato!”e sparisce immediatamente in una nuvoletta di logica.Uomo:”Com’è stato facile!”e passa a dimostrare che il nero è bianco,x poi finire ucciso sulle prime strisce pedonali ke incontra.
Bene. i piani sono effettivamente 7. Il problema è tratto dal classico Yaglom e Yaglom, Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]