Piani equidistanti (classico)
Inviato: 26 mar 2010, 18:57
Sono dati 4 punti dello spazio, non tutti complanari. Quanti sono i piani che siano equidistanti da tutti e quattro i punti?
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Piani equidistanti (classico)
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Inviato: 28 mar 2010, 20:21
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Inviato: 28 mar 2010, 22:26
Direi di no.
L'esercizio non è difficile. Una volta afferrata l'idea iniziale il resto sono dettagli tecnici su come posizionare piani nello spazio.
L'esercizio non è difficile. Una volta afferrata l'idea iniziale il resto sono dettagli tecnici su come posizionare piani nello spazio.
Inviato: 29 mar 2010, 02:37
(La butto lì; mi sembra più combinatoria che geometria)
Se esiste un piano, che chiamo $ \alpha $, equidistante dai quattro punti dati, allora i punti non possono trovarsi dalla stessa parte dello spazio rispetto ad $ \alpha $; infatti, se fossero tutti dalla stessa parte, allora apparterrebbero tutti a un piano $ \beta $ parallelo ad $ \alpha $, il che è contrario all'ipotesi.
Perciò le posizioni del piano $ \alpha $ rispetto ai punti possono essere di due tipi: tre punti si trovano da una parte rispetto ad $ \alpha $ e il quarto punto si trova dall'altra parte, oppure due punti si trovano da una parte e gli altri due dall'altra.
Consideriamo il primo caso: per assioma, tre punti distinti appartengono sempre a uno e un solo piano; pertanto, scegliendo tre qualsiasi dei quattro punti, esiste un piano $ \alpha' $ passante per essi ed esiste un piano $ \alpha'' $ parallelo a esso e passante per il quarto punto; il piano $ \alpha $ cercato, pertanto, esiste ed è parallelo ed equidistante dai piani $ \alpha' $ e $ \alpha'' $. Perciò, in questo primo caso, esistono 4 piani che rispettano le condizioni poste, uno per ogni diversa scelta del punto "isolato".
Consideriamo il secondo caso: per assioma, per due punti distinti passa sempre una e una sola retta; se ci sono due punti in ognuna delle due regioni dello spazio individuate dal piano $ \alpha $, allora possiamo individuare due rette $ r $ ed $ s $, ciascuna passante per i due punti dalla stessa parte rispetto al piano. Se due punti appartenenti alla stessa retta sono equidistanti dal piano, allora la retta è perpendicolare al piano; perciò il piano $ \alpha $ deve necessariamente essere parallelo sia a $ s $ sia a $ r $. Esistono infiniti piani che soddisfano questa condizione, e, tra questi, il piano $ \alpha $ è quello equidistante da entrambe le rette. Perciò, in questo caso, esistono 6 piani che rispettano le condizioni poste, poiché esistono 6 modi di scegliere 2 punti tra 4.
Alla fine, quindi, ottengo 4+6=10 piani. Potrebbe essere?
Se esiste un piano, che chiamo $ \alpha $, equidistante dai quattro punti dati, allora i punti non possono trovarsi dalla stessa parte dello spazio rispetto ad $ \alpha $; infatti, se fossero tutti dalla stessa parte, allora apparterrebbero tutti a un piano $ \beta $ parallelo ad $ \alpha $, il che è contrario all'ipotesi.
Perciò le posizioni del piano $ \alpha $ rispetto ai punti possono essere di due tipi: tre punti si trovano da una parte rispetto ad $ \alpha $ e il quarto punto si trova dall'altra parte, oppure due punti si trovano da una parte e gli altri due dall'altra.
Consideriamo il primo caso: per assioma, tre punti distinti appartengono sempre a uno e un solo piano; pertanto, scegliendo tre qualsiasi dei quattro punti, esiste un piano $ \alpha' $ passante per essi ed esiste un piano $ \alpha'' $ parallelo a esso e passante per il quarto punto; il piano $ \alpha $ cercato, pertanto, esiste ed è parallelo ed equidistante dai piani $ \alpha' $ e $ \alpha'' $. Perciò, in questo primo caso, esistono 4 piani che rispettano le condizioni poste, uno per ogni diversa scelta del punto "isolato".
Consideriamo il secondo caso: per assioma, per due punti distinti passa sempre una e una sola retta; se ci sono due punti in ognuna delle due regioni dello spazio individuate dal piano $ \alpha $, allora possiamo individuare due rette $ r $ ed $ s $, ciascuna passante per i due punti dalla stessa parte rispetto al piano. Se due punti appartenenti alla stessa retta sono equidistanti dal piano, allora la retta è perpendicolare al piano; perciò il piano $ \alpha $ deve necessariamente essere parallelo sia a $ s $ sia a $ r $. Esistono infiniti piani che soddisfano questa condizione, e, tra questi, il piano $ \alpha $ è quello equidistante da entrambe le rette. Perciò, in questo caso, esistono 6 piani che rispettano le condizioni poste, poiché esistono 6 modi di scegliere 2 punti tra 4.
Alla fine, quindi, ottengo 4+6=10 piani. Potrebbe essere?
Inviato: 29 mar 2010, 13:56
Non ci siamo ancora. L'idea di Giulio_C è giusta ma c'è un errore nel conteggio dei piani.
Inviato: 29 mar 2010, 15:32
8 va bene ?
Inviato: 29 mar 2010, 15:45
Nokarl ha scritto:8 va bene ?
Inviato: 29 mar 2010, 15:58
Diamine, avevo fatto lo stesso ragionamento, solo che ne avevo contato solo 1 nella prima parte... 
Cmq ora mi esce 7, perché nella seconda parte conti 2 volte le stesse possibilità.
Cmq ora mi esce 7, perché nella seconda parte conti 2 volte le stesse possibilità.
Inviato: 29 mar 2010, 17:14
Bene. i piani sono effettivamente 7. Il problema è tratto dal classico Yaglom e Yaglom, Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions