posto qui questo problema xkè vorrei avere un chiarimento sulla soluzione ke non mi convince, e dato ke ne posto già la soluzione non mi sembrava bello metterlo nella sezione problemi:
dimostrare che se m e n interi naturali sono tali che (3n^2)+n=4(m^2)+m allora m-n è un quadrato perfetto.
la soluzione proposta è:fattorizzando esce (n-m)(3n+3m+1)=m^2 se un primo p divide m-n allora divide anke m in quanto m-n divide m^2, di conseguenza p|m+n=m-n+2m da cui si vede che i fattori (n-m)(3n+3m+1) sono primi tra loro e quindi entrambi sono quadrati perfetti.
non so xkè ma questa dimostrazione non mi convince... xkè se ad esempio nella sua fattorizzazione m-n contiene p^3 e m^2 contiene p^4 allora m contiene solo p^2 e di conseguenza p^3 non divide m da cui (n-m) e (3n+3m+1) potrebbero contenere fattori comuni.
qualcuno mi può dire se il mio ragionamento ha senso o ho solo preso un gigantesco abbaglio?
giornalino della matematica n°3 es17
Non si parla di potenze di primi, ma di primi.
Se $ m-n|m^2 $ allora tutti i primi che compaiono (con qualche esponente) in m-n compaiono (con qualche altro esponente maggiore) in m^2, quindi compaiono (con qualche altro ancora esponente che non ci importa) in m.
Dunque, se$ p|m-n $ (p, non una potenza!!!), si ha che $ p|2m $ e quindi $ p|2m+(n-m)=m+n $.
Se $ m-n|m^2 $ allora tutti i primi che compaiono (con qualche esponente) in m-n compaiono (con qualche altro esponente maggiore) in m^2, quindi compaiono (con qualche altro ancora esponente che non ci importa) in m.
Dunque, se$ p|m-n $ (p, non una potenza!!!), si ha che $ p|2m $ e quindi $ p|2m+(n-m)=m+n $.
sono tanto stupido ke non mi ero reso conto che comunque si scelgano i primi p e q e i numeri naturali a,b,c,d vale che $ MCD\left ( p^{a}q^{b},p^{c}q^{d}+1 \right )=1 $ ke è la cosa + ovvia del mondo.
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Spammowarrior
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