$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+a_{14}x_4+...+a_{1n}x_n &= 0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+a_{24}x_4+...+a_{2n}x_n &= 0 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+a_{34}x_4+...+a_{3n}x_n &= 0 \\ a_{41}x_1+a_{42}x_2+a_{43}x_3+a_{44}x_4+...+a_{4n}x_n &= 0 \\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+a_{n4}x_4+...+a_{nn}x_n &= 0 \\ \end{cases} $
Dove $ $n$ $ è un numero dispari, i coefficienti $ $a_{ij}$ $ possono essere $ $1,~0,~-1$ $, il coefficiente $ $a_{ij}$ $ vale 0 se $ $i=j$ $, in tutti gli altri casi vale o $ $1$ $ o $ $-1$ $ (e in ogni equazione il numero dei coefficienti $ $1$ $ è pari al numero dei coefficienti $ $-1$ $). Gli $ $x_i$ $ sono invece le incognite.
Ci sarebbe un modo semplice per dimostrare che allora gli $ $x_i$ $ devono essere tutti uguali fra di loro?
Mi è venuta in mente questa cosa cercando di risolvere la Gara Nazionale 1990 - 6:
Codice: Seleziona tutto
Alcune palline sono distribuite in 2n + 1 sacchetti. Supponiamo che, tolto un qualunque sacchetto, sia possibile suddividere i rimanenti in due gruppi di n sacchetti, in modo che ciascun gruppo contenga lo stesso numero complessivo di palline. Dimostrare che i sacchetti contengono tutti lo stesso numero di palline.
, da ciò come concludo che tutte le soluzioni allora devono essere della forma $ $x_1=x_2=...=x_n=k$ $?
Mi ero perso il problema di ammissione al WC. Riconosco che in effetti gli interi c'entrano poco --- anzi, mea culpa, sono passaggi abbastanza standard anche reale=>razionale e razionale=>intera.