OliForum Matematico

Questo fatto sono certo che sia vero (e torna anche parecchio comodo) ma non sono riuscito ne a dimostrarlo ne a trovarlo su internet.
Qualcuno mi sa dire il nome, sempre che ne abbia uno, e linkarmi una dimostrazione.

Dato $ $\alpha $ irrazionale e $ 0<k<1 $ mostrare che $ \forall \varepsilon>0 $ esiste un n naturale tale che:
$ $k<\{n\alpha\}<k+\varepsilon $

sbaglio o è il teorema di Dirichlet?
La dimostrazione si fa per pigeonhole, e c'è anche nella dispensa sulle equazioni di Pell che jordan aveva postato un po' di tempo fa (lo so perchè la sto leggendo ora)

scusate, potete linkare la dispensa che col search non la trovo? grazie

ale.b ha scritto:scusate, potete linkare la dispensa che col search non la trovo? grazie

è in questo topic:
viewtopic.php?t=13852&start=0

Beh, Dirichlet si trovava anche su Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet' ... on_theorem
e comunque non mi sembra quello che aveva chiesto dario.

Dirichlet afferma che per ogni irrazionale $ \alpha $ e per ogni $ \varepsilon >0 $ esistono due naturali $ n, k $ tali che $ |n\alpha - k|<\varepsilon $ (in realtà dà anche dei limiti su $ n $ in base a $ \varepsilon $: $ n<\frac{1}{\varepsilon} $). Ora se prendiamo un multiplo intero di $ \alpha $ che disti meno di $ \varepsilon $ dall'intero più vicino, allora tra i multipli di questo multiplo ce ne sta uno con la parte frazionaria compresa tra $ k $ e $ k+\varepsilon $.

non ho capito.. k per te è intero, nella richiesta di dario è tra 0 e 1...

Anér ha scritto:Dirichlet afferma che per ogni irrazionale $ \alpha $ e per ogni $ \varepsilon >0 $ esistono due naturali $ n, k $ tali che $ |n\alpha - k|<\varepsilon $ (in realtà dà anche dei limiti su $ n $ in base a $ \varepsilon $: $ n<\frac{1}{\varepsilon} $). Ora se prendiamo un multiplo intero di $ \alpha $ che disti meno di $ \varepsilon $ dall'intero più vicino, allora tra i multipli di questo multiplo ce ne sta uno con la parte frazionaria compresa tra $ k $ e $ k+\varepsilon $.

esatto, era questo che intendevo, grazie aner

Mi dispiace se non ho linkato il teorema di dirichlet sulla wiki inglese, a dire il vero non ci ho nemmeno pensato

ok, ma per cose diverse simboli diversi, la prossima volta, eh?

Ehm, effettivamente non è il massimo usare due volte la stessa lettera per cose diverse.