Un triangolo rettangolo ABC retto in A ha AB=7 e AC=24; sia P l'intersezione tra l'altezza da A e la mediana da B. Determinare AP.
Intersezione tra altezza e mediana
Intersezione tra altezza e mediana
Questo mi ha dato alcuni problemi...
Un triangolo rettangolo ABC retto in A ha AB=7 e AC=24; sia P l'intersezione tra l'altezza da A e la mediana da B. Determinare AP.
Un triangolo rettangolo ABC retto in A ha AB=7 e AC=24; sia P l'intersezione tra l'altezza da A e la mediana da B. Determinare AP.
cogito ergo demonstro
Ho trovato una soluzione che però ora non ho il tempo materiale di scrivere per bene.
Trovo CB, chaimo H l'intersezione dell'altezza e M quella della mediana, dimostro che ABH e ABC sono triangoli simili, perchè hanno in comune un angolo e un lato e sono entrambi rettangoli. essendo dimili, con le proporzioni trovo BH, AH e HC.
A questo punto ( parte che per ora non riesco a risolvere in modo migliore) metto il tutto in un sistema di assi cartesiani con A (0;0) B(7;0) M ( 0; 12) e dai conti H ( $ \frac {4032}{625} ; \frac {1176}{625} $ ). A questo punto metto a sistema la retta passante da AH con quella passante da MB e trovo il punto di intersezione.
Trovo CB, chaimo H l'intersezione dell'altezza e M quella della mediana, dimostro che ABH e ABC sono triangoli simili, perchè hanno in comune un angolo e un lato e sono entrambi rettangoli. essendo dimili, con le proporzioni trovo BH, AH e HC.
A questo punto ( parte che per ora non riesco a risolvere in modo migliore) metto il tutto in un sistema di assi cartesiani con A (0;0) B(7;0) M ( 0; 12) e dai conti H ( $ \frac {4032}{625} ; \frac {1176}{625} $ ). A questo punto metto a sistema la retta passante da AH con quella passante da MB e trovo il punto di intersezione.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
sì ma non è bella come soluzione e tantomeno elegante, ce ne dovrebbe essere una anche senza assi e trigonometria, però non la riesco a trovare...
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
$ ABP = \arctan\dfrac{12}{7} $
$ BAP = BCA = \arctan\dfrac{7}{24} $
$ BPA = \pi - ABP - BAP = \pi - \arctan\dfrac{12}{7} - \arctan\dfrac{7}{24} $
$ \dfrac{AP}{\sin(ABP)} = \dfrac{AB}{\sin(BPA)} $
$ AP = AB \dfrac{\sin(ABP)}{\sin(BPA)} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7} + \arctan\dfrac{7}{24})} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})\cos(\arctan\dfrac{7}{24}) + \cos(\arctan\dfrac{12}{7})\sin(\arctan\dfrac{7}{24})} $.
Tenendo conto delle identità $ \sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} $ e $ \cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ si ottiene (se non ho sbagliato i conti che ho fatto un po' affrettatamente).
$ AP = \dfrac{600}{337} $
Ha la trigonometria ma non mi sembra molto calcolosa questa.
EDIT: corretto errore visto da Bake.
$ BAP = BCA = \arctan\dfrac{7}{24} $
$ BPA = \pi - ABP - BAP = \pi - \arctan\dfrac{12}{7} - \arctan\dfrac{7}{24} $
$ \dfrac{AP}{\sin(ABP)} = \dfrac{AB}{\sin(BPA)} $
$ AP = AB \dfrac{\sin(ABP)}{\sin(BPA)} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7} + \arctan\dfrac{7}{24})} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})\cos(\arctan\dfrac{7}{24}) + \cos(\arctan\dfrac{12}{7})\sin(\arctan\dfrac{7}{24})} $.
Tenendo conto delle identità $ \sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} $ e $ \cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ si ottiene (se non ho sbagliato i conti che ho fatto un po' affrettatamente).
$ AP = \dfrac{600}{337} $
Ha la trigonometria ma non mi sembra molto calcolosa questa.
EDIT: corretto errore visto da Bake.
Ultima modifica di Gauss91 il 02 mag 2010, 22:20, modificato 2 volte in totale.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
stessa via usata da me, errore di calcolo l'hai fatto veniva $ $ AP=AB=\dfrac{\sin{(ABP)}}{\sin{(BPA)}}=\dfrac {\sin{(\arctan{\dfrac{12}{7)}}}}{\sin{(\arctan{\dfrac{12}{7}+\arctan{\dfrac{7}{24}}})}} $Gauss91 ha scritto:$ ABP = \arctan\dfrac{12}{7} $
$ BAP = BCA = \arctan\dfrac{7}{24} $
$ BPA = \pi - ABP - BAP = \pi - \arctan\dfrac{12}{7} - \arctan\dfrac{7}{24} $
$ \dfrac{AP}{\sin(ABP)} = \dfrac{AB}{\sin(BPA)} $
$ AP = AB \dfrac{\sin(ABP)}{\sin(BPA)} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7} - \arctan\dfrac{7}{24})} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})\cos(\arctan\dfrac{7}{24}) - \cos(\arctan\dfrac{12}{7})\sin(\arctan\dfrac{7}{24})} $.
Tenendo conto delle identità $ \sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} $ e $ \cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ si ottiene (se non ho sbagliato i conti che ho fatto un po' affrettatamente).
$ AP = \dfrac{600}{239} $
Ha la trigonometria ma non mi sembra molto calcolosa questa.
nemmeno ioGauss91 ha scritto:
@Zephyrus: non ho capito la tua soluzione
, il triangolo simile qual'è? perchè te dici che poi il triangolo simile ha l'ipotenusa che corrisponde a un cateto del trinagolo maggiore.. ma allora non ho capito che te ne fai della retta parallela? e poi imposti l'Eq. ... quale Eq. ?Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Proverò ad essere più chiaro
AHB è simile ad ABC, poichè sono triangoli rettangoli con un vertice in comune. Ne segue che APO e PTH sono a loro volta simili sia tra loro che ad ABC. Per talete inoltre, TP=PO. A questo punto, sapendo che i lati del triangolo sono 7, 24, 25, che AH=7x24/25, si risolve il problema impostando l'equazione:
$ $ \frac{25OP} {7}+\frac{7OP} {25}=AH $, vera per i rapporti di similitudine, si risolve e si ha il risultato.
E' più chiaro ora
?
AHB è simile ad ABC, poichè sono triangoli rettangoli con un vertice in comune. Ne segue che APO e PTH sono a loro volta simili sia tra loro che ad ABC. Per talete inoltre, TP=PO. A questo punto, sapendo che i lati del triangolo sono 7, 24, 25, che AH=7x24/25, si risolve il problema impostando l'equazione:
$ $ \frac{25OP} {7}+\frac{7OP} {25}=AH $, vera per i rapporti di similitudine, si risolve e si ha il risultato.
E' più chiaro ora
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hanno già commentato Gauss91 e Euler ma volevo solo specificare che non volevo assolutamente attaccarti con il post precendete, ma era solamente per chiedere delucidazioni sulla tua soluziione da te ampiamente fornite. complimenti per l'idea 
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.