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Questo mi ha dato alcuni problemi...
Un triangolo rettangolo ABC retto in A ha AB=7 e AC=24; sia P l'intersezione tra l'altezza da A e la mediana da B. Determinare AP.

Ho trovato una soluzione che però ora non ho il tempo materiale di scrivere per bene.
Trovo CB, chaimo H l'intersezione dell'altezza e M quella della mediana, dimostro che ABH e ABC sono triangoli simili, perchè hanno in comune un angolo e un lato e sono entrambi rettangoli. essendo dimili, con le proporzioni trovo BH, AH e HC.
A questo punto ( parte che per ora non riesco a risolvere in modo migliore) metto il tutto in un sistema di assi cartesiani con A (0;0) B(7;0) M ( 0; 12) e dai conti H ( $ \frac {4032}{625} ; \frac {1176}{625} $ ). A questo punto metto a sistema la retta passante da AH con quella passante da MB e trovo il punto di intersezione.

ho provato una via calcolosa (trigonometrica ç_ç) perchè ancora non mi viene in mente altro e mi viene $ $ \frac {84}{337} $

Grazie, non mi era per niente venuto in mente di usare assi cartesiani

sì ma non è bella come soluzione e tantomeno elegante, ce ne dovrebbe essere una anche senza assi e trigonometria, però non la riesco a trovare...

$ ABP = \arctan\dfrac{12}{7} $
$ BAP = BCA = \arctan\dfrac{7}{24} $
$ BPA = \pi - ABP - BAP = \pi - \arctan\dfrac{12}{7} - \arctan\dfrac{7}{24} $

$ \dfrac{AP}{\sin(ABP)} = \dfrac{AB}{\sin(BPA)} $
$ AP = AB \dfrac{\sin(ABP)}{\sin(BPA)} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7} + \arctan\dfrac{7}{24})} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})\cos(\arctan\dfrac{7}{24}) + \cos(\arctan\dfrac{12}{7})\sin(\arctan\dfrac{7}{24})} $.

Tenendo conto delle identità $ \sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} $ e $ \cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ si ottiene (se non ho sbagliato i conti che ho fatto un po' affrettatamente).

$ AP = \dfrac{600}{337} $

Ha la trigonometria ma non mi sembra molto calcolosa questa.

EDIT: corretto errore visto da Bake.

Volendo una soluzione del tutto euclidea, si traccia la parallela r ad AC passante per P, si trovano due triangoli simili tra loro e al triangolo originale che hanno anche ipotenusa dell'uno=cateto dell'altro, si imposta l'equazione e si trova AP.

Gauss91 ha scritto:$ ABP = \arctan\dfrac{12}{7} $
$ BAP = BCA = \arctan\dfrac{7}{24} $
$ BPA = \pi - ABP - BAP = \pi - \arctan\dfrac{12}{7} - \arctan\dfrac{7}{24} $

$ \dfrac{AP}{\sin(ABP)} = \dfrac{AB}{\sin(BPA)} $
$ AP = AB \dfrac{\sin(ABP)}{\sin(BPA)} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7} - \arctan\dfrac{7}{24})} = AB \dfrac{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})}{\sin(\arctan\dfrac{12}{7})\cos(\arctan\dfrac{7}{24}) - \cos(\arctan\dfrac{12}{7})\sin(\arctan\dfrac{7}{24})} $.

Tenendo conto delle identità $ \sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} $ e $ \cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ si ottiene (se non ho sbagliato i conti che ho fatto un po' affrettatamente).

$ AP = \dfrac{600}{239} $

Ha la trigonometria ma non mi sembra molto calcolosa questa.

stessa via usata da me, errore di calcolo l'hai fatto veniva $ $ AP=AB=\dfrac{\sin{(ABP)}}{\sin{(BPA)}}=\dfrac {\sin{(\arctan{\dfrac{12}{7)}}}}{\sin{(\arctan{\dfrac{12}{7}+\arctan{\dfrac{7}{24}}})}} $

Giusto! Ho editato.

@Zephyrus: non ho capito la tua soluzione

Gauss91 ha scritto:
@Zephyrus: non ho capito la tua soluzione

nemmeno io , il triangolo simile qual'è? perchè te dici che poi il triangolo simile ha l'ipotenusa che corrisponde a un cateto del trinagolo maggiore.. ma allora non ho capito che te ne fai della retta parallela? e poi imposti l'Eq. ... quale Eq. ?

Proverò ad essere più chiaro
AHB è simile ad ABC, poichè sono triangoli rettangoli con un vertice in comune. Ne segue che APO e PTH sono a loro volta simili sia tra loro che ad ABC. Per talete inoltre, TP=PO. A questo punto, sapendo che i lati del triangolo sono 7, 24, 25, che AH=7x24/25, si risolve il problema impostando l'equazione:
$ $ \frac{25OP} {7}+\frac{7OP} {25}=AH $, vera per i rapporti di similitudine, si risolve e si ha il risultato.
E' più chiaro ora ?

Ok ho controllato ed è giusta viene esattamente 300/337. Ti invito, per il futuro, a formulare le risposte come questa che hai appena postato per evitare di essere frainteso o altro.

P.S.: bella soluzione

Fantastica ed elegante!!

hanno già commentato Gauss91 e Euler ma volevo solo specificare che non volevo assolutamente attaccarti con il post precendete, ma era solamente per chiedere delucidazioni sulla tua soluziione da te ampiamente fornite. complimenti per l'idea

@amatrix: Non preoccuparti, rileggendo il mio primo post mi sono accorto di aver difficoltà a capirlo anch'io:)