OliForum Matematico

Sia $ $n > 3$ $ un numero intero fissato e $ $x_1,x_2,\ldots, x_n$ $ numeri reali positivi. Trovare, in funzione di $ $n$ $, tutti i possibili valori reali di
$ ${x_{1}\over x_{n}+x_{1}+x_{2}}+{x_{2}\over x_{1}+x_{2}+x_{3}}+{x_{3}\over x_{2}+x_{3}+x_{4}}+\cdots+{x_{n-1}\over x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}}+{x_{n}\over x_{n-1}+x_{n}+x_{1}}$ $

Brazil National Olympiad 2009 - 6

Buon lavoro!

Immagino cerchi il valore massimo e minimo della funzione e poi sfrutti la continuità e il teorema dei valori intermedi? Però trovare massimo e minimo senza analisi è una sfida. Anzi anche con l'analisi è complesso ti viene un sistema enorme.

Poi potrebbe aiutare che :

1-la funzione dipende solo dai rapporti tra gli x_i, ovvero sostituendo a un vettore x1,...xn il vettore a*(x1,...,xn) con a>0 il risultato non cambia
2-f(x1,x2,...xn)=f(x2,x3,..,xn,x1)=...=f(xn,x1,..,xn-1) ovvero la stessa successione di xn spostata in avanti di un certo numero di passi da lo stesso risultato (la funzione è un po' "circolare", nel senso che dipende da una sequenza di numeri in cui all'ultimo segue il primo).

Ha qualche interpretazione geometrica? tipo in cui gli x_i sono le lunghezze dei lati di un poligono?

dopo averci pensato per un po' mi pare di essere riuscito a dimostrare (a meno di errori) che chiamando K quel mostro allora vale $ 1<K<[\frac n 2] $ e che una limitazione migliore non esiste. A questo punto sembra ovvio che la funzione assume tutti i valori in quest'intervallo, ma sul momento non mi viene in mente una dimostrazione semplice di questo fatto...

Intanto lascio solo la limitazione come hint per qualcuno che vuole provare a dimostrarlo, al ritorno da cese posto la mia se nessuno ha ancora risolto

@rargh:
le 2 cose che hai notato sono
1)che la funzione è omogenea
2)che la funzione è ciclica

C'è un punto stazionario per il vettore $ x_i=1 $ $ \forall i $

Variamo una variabile (ehm..) alla volta e vediamo che:

$ x_k=1+\epsilon_k $ $ x_i=1 $ $ \forall i \ne k $

$ f(1,...,1+\epsilon_k,1...,1)=\frac{n}{3}-1+\frac{1+\epsilon_k}{3+\epsilon_k}+\frac{1}{3+\epsilon_k}+\frac{1}{3+\epsilon_k}=\frac{n}{3}-1+1=\frac{n}{3} $

Ora da qui non so se è un punto stazionario che non è né massimo né minimo, o se è un massimo o un minimo

Maioc92 ha scritto:dopo averci pensato per un po' mi pare di essere riuscito a dimostrare (a meno di errori) che chiamando K quel mostro allora vale $ 1<K<[\frac n 2] $ e che una limitazione migliore non esiste.

Sì, dovrebbe essere esatto, è venuta la stessa cosa anche a me.

Maioc92 ha scritto:A questo punto sembra ovvio che la funzione assume tutti i valori in quest'intervallo, ma sul momento non mi viene in mente una dimostrazione semplice di questo fatto...

La funzione è continua perché è una somma di funzioni razionali i cui denominatori non si annullano mai (gli xi sono tutti positivi). Non possiamo applicare il teorema dei valori intermedi?

Puoi dimostrare perché non esistono limitazioni migliori di quella che hai trovato?

rargh ha scritto:

Maioc92 ha scritto:A questo punto sembra ovvio che la funzione assume tutti i valori in quest'intervallo, ma sul momento non mi viene in mente una dimostrazione semplice di questo fatto...

La funzione è continua perché è una somma di funzioni razionali i cui denominatori non si annullano mai (gli xi sono tutti positivi). Non possiamo applicare il teorema dei valori intermedi?

Puoi dimostrare perché non esistono limitazioni migliori di quella che hai trovato?

si, è molto probabile che esista un teorema di analisi a riguardo, ma io di analisi non so nulla a parte un po' sui limiti, e comunque trattandosi di un problema olimpico in teoria non dovrebbe servire...

Invece per quel che riguarda le limitazioni prova le seguenti 2 cose:
1)prendi $ x_n=y^n $ e fai tendere y a infinito
2)prendi $ x_1=k,x_2=h,x_3=k,x_4=h $ ecc... (se n dispari finisci con $ x_{n-1}=h,x_n=h $) con h molto piccolo rispetto a k. Cioè in pratica prendi in modo alternato $ x_i $ molto grande e $ x_{i+1} $ molto piccolo, e anche in questo caso vedi cosa succede

P.S: se ti va di provare a dimostrare che quelle 2 disuguaglianze sono vere ti consiglio di abbandonare l'idea di usare l'analisi, anche perchè la soluzione che ho trovato io è completamente elementare, non servono nemmeno disuguaglianze note a livello olimpico come AM-GM o Cauchy-Schwarz. Basta provare un po' a capire quali sono i casi migliori e poi avere l'idea giusta

Definiamo $ a_i=\frac{x_i}{x_{i-1}+x_i+x_{i+1}} $.

Si dimostra facendo un po' di passaggi algebrici noiosetti che $ sup(a_i+a_{i+1} )=1 $ (sup sta per estremo superiore) da cui la tesi.

Ok resta solo da trovare che l'estremo inferiore e' 1.

Allora forse il punto che ho trovato io era un massimo o un minimo relativo, non assoluto...

Ehm, in realtà hai finito solo se n è pari; se n è dispari hai dimostrato che quella somma è minore di n/2, ma devi dimostrare che è minore di (n-1)/2, e questo è un po' più complesso.

Attento poi perché l'estremo inferiore è 1.

Ok ho dimostrato perché l'estremo inferiore è 1.

Detta S la somma di tutti gli x_i:

$ S=\sum{x_i} $

$ f(x_1,x_2,...,x_n)=x_1(\frac{1}{x_n+x_1+x_2}-\frac{1}{S})+...+x_i(\frac{1}{x_{i-1}+x_{i}+x_{i+1}}-\frac{1}{S})+...+x_n(\frac{1}{x_{n-1}+x_n+x_1}-\frac{1}{S})+1 $


Ora ognuno di questi termini a sinistra dell'1 è positivo:

$ x_i(\frac{1}{x_{i-1}+x_{i}+x_{i+1}}-\frac{1}{S})>0 $


E si può verificare che l'estremo inferiore di questa espressione, 0, viene raggiunto per gli x_i in progressione geometrica con ragione che tende all'infinito.