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Esattamente, cosa vuol dire "analizzare mod x"? Cioè, so che (a)mod(b)=c significa che a/b dà resto c, però non capisco bene che applicazione possa avere nelle dimostrazioni. Ad esempio analizzando "p^2-2q^2=1" mod 4, trovo che 2 divide q^2.... che vuol dire? E che calcolo faccio per arrivare a questa conclusione?

Non lapidatemi se sto facendo una domanda elementare, ma nessuno mi ha mai parlato di moduli quindi mi trovo un po' disorientato visto che è un elemento molto usato nelle dimostrazioni delle olimpiadi..

nell'equazione che hai scritto analizzare modulo 4 vuol dire capire quali sono i possibili valori che possono avere p e q perchè l'equazione ( tutta modulo 4) sia vera.
quindi, dopo aver notato che p deve essere dispari( $ 2q^2 $ è pari, 1 e dispari e pari meno pari farebbe pari), p può essere o congruo a 1 modulo 4 oppure congruo a 3 ( detto in maniera più semplice o p è uguale a 4k+1 o a 4k +3). 1 per 1 modulo 4 è uguale a 1 e 3 per 3 modulo 4 è congruo a 9 che è congruo a 1. ( se vuoi prova a fare per convincerti 4k+1 al quadrato e 4k+3 al quadrato) . ma questo vuol dire che modulo 4 l'equazione diventa $ 1+2q^2=1 $ mod 4 da cui $ 2q^2=0 $ mod 4. e quindi q non può essere dispari perchè altrimenti $ 2q^2 $ non dividerebbe 4.

in generale di solito le classi di resto ( o moduli) vengono usate per escludere delle soluzioni nelle equazioni diofantee.
un esempio facile: l'equazione $ 3x^5+9y^2+7=2009 $ non ha soluzione intere perchè $ 3x^5 $e $ 9y^2 $sono uguali a 0 modulo 3 , 7 è uguale a 1 modulo 3 e 2009 a 2 modulo 3, quindi dovrebbe venire 1=2.
quest'esempio probabilmente si poteva risolvere anche in altri modi facilmente ma ad esempio per esercizio prova a risolvere questa equazione con modulo 11 : $ x^5 - 11y^3=2 $
spero di non essere stato troppo confusionario e che qualcuno possa chiarire un po' meglio

spostato nella sezione di pertinenza: la prossima volta pensaci un po' meglio prima di postare nella sezione sbagliata

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