Ortocentri allineati

[Anér]

Suppongo sia piuttosto famoso, quindi se già lo conoscete lasciatelo ad altri.
Date quattro rette nel piano a due a due non parallele, dimostrare che gli ortocentri dei quattro triangoli formati dalle rette prese a tre a tre sono allineati.

[Euler]

Guardando il disegno allegato, dobbiamo dimostrare che $ O_1 O_3 O_2=\pi $. Si nota che $ C O_3 O_1=3\pi/2-B C O_3-B O_1 O_3 $ e che $ C O_3 O_2=3\pi/2-A O_2 O_3-O_2 O_3 C-O_3 C A=3\pi/2-\pi+B C O_3-\pi+B O_1 O_3 $. Dunque la loro somma sarà $ \pi $. Ciò si può estendere anche all'altro triangolo piccolo, e per la proprietà transitiva tutti e 4 i punti saranno allineati Q.E.D.
La dimostrazione l'ho fatta di fretta , ma per casi ad esempio con ortocentri esterni cambiano lelettere e i quadrilateri

[Anér]

In effetti la dimostrazione è piuttosto succinta e non son riuscito a comprenderla; potresti riscriverla meglio? Fai attenzione alle lettere perché mi pare che qualcosa non vada.

[Euler]

Sì ho confuso una B per una C...

[Euler]

Nella dimostrazione ho semplicemente considerato gli angoli sapendo che la somma dei lati interni di un quadrilatero è $ 2\pi $, in questo caso ho usato $ O_1 O_3 C B $ e $ O_2 O_3 C A $. Ammetto che non mi sono spiegato bene perchè l'ho fatta in fretta sul momento, adesso spero capisca.

[Anér]

Hai anche scritto $ CO_3O_2=3\pi /2 - AO_2O_3 - O_2O_3C - O_3CA $, ma penso volessi dire che $ CO_3O_2=3\pi /2 - AO_2O_3 - O_3CA $.
Ma come giustifichi l'uguaglianza successiva? Dovresti dimostrare che $ AO_2O_3+BO_1O_3=\pi $.

[Euler]

Sì è vero tutte quelle lettere mi hanno confuso...lasciamo stare l'intera dimostrazione, cercherò di trovarne una migliore