x^3+2x+1=2^y
Inviato: 08 giu 2010, 02:34
Determinare tutti gli $ ~ x,y $ interi positivi tali che $ x^3+2x+1=2^y $
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x^3+2x+1=2^y
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Inviato: 09 giu 2010, 16:58
sembra tosta,non riesco a dimostrare che (1,2) è l'unica
Inviato: 09 giu 2010, 20:50
Una cosa è certa, tramite mod 2 e mod 3 si vede che x è dispari e y è pari... Aiutini? =)
(EDITATO)
(EDITATO)
Inviato: 09 giu 2010, 20:58
0 non è positivo.SalvoLoki ha scritto:Infatti c'è anche (0,0)
Inviato: 09 giu 2010, 21:00
Pensavo si potesse comprendere nelle soluzioni, edito 
Inviato: 09 giu 2010, 21:06
Puoi anche dire di più: analizzando modulo 4 trovi che $ x \equiv 1 \pmod 4 $. Puoi anche spingerti oltre e dire "bene, i casi piccoli si fanno a mano, poniamo $ y \geq k $ e svolgiamo tutti i calcoli mod $ 2^k $". Sorprendentemente, ssembra che per ogni $ k $ si possa trovare un solo resto compreso tra 0 e $ 2^k-1 $ che vada bene! Forse c'entra con la soluzione...SalvoLoki ha scritto:Una cosa è certa, tramite mod 2 e mod 3 si vede che x è dispari e y è pari... Aiutini? =)
(EDITATO)
Inviato: 09 giu 2010, 21:52
trovato che $ ~x= k+ 2^yn\; 0<k<2^y\;n\geq 0 $, si ottiene una nuova equazione $ ~P_y(n)=1 $
se si dimostra che $ ~P_y(n) $ e' definitivamente strettamente maggiore di 1, si ha finito
se si dimostra che $ ~P_y(n) $ e' definitivamente strettamente maggiore di 1, si ha finito
Inviato: 09 giu 2010, 21:54
Puoi chiarire che hai fatto?SkZ ha scritto:trovato che $ ~x= k+ 2^yn\; k>0\;n\geq 0 $, si ottiene una nuova equazione $ ~P_y(n)=1 $
se si dimostra che $ ~P_y(n) $ e' definitivamente strettamente maggiore di 1, si ha finito
Inviato: 09 giu 2010, 22:00
l'idea penso sia quella
assonnato non ho specificato. non ho risolto. Ma con un paio di tentativi vedi che P in 0 e' sempre piu' grande
assonnato non ho specificato. non ho risolto. Ma con un paio di tentativi vedi che P in 0 e' sempre piu' grande
Inviato: 09 giu 2010, 22:08
Non mi sono spiegato.
Non ho capito che hai fatto... k che è? Hai mostrato che esiste un k (spero intero) tale che vale quella roba o cosa?
EDIT: poi n che è? e k che è?
Non ho capito che hai fatto... k che è? Hai mostrato che esiste un k (spero intero) tale che vale quella roba o cosa?
EDIT: poi n che è? e k che è?
Inviato: 09 giu 2010, 22:13
E' facile dimostrare che $ P_y (n)>1 $ definitivamente poiché ha sempre tutti coefficienti positivi. Il passaggio da $ P_y (x) $ a $ P_y (n) $ non mi sembra però così immediato...
Inviato: 09 giu 2010, 22:29
allora:
fissiamo y>0
la x sara' $ ~x\equiv k \mod 2^y $, ovvero $ $x=k+2^yn\; n\geq0 \; 0<k<2^y $ (ovviamente x non puo' essere pari)
Fin qui nulla di strano.
Sostituendo otteniamo $ ~2^y\cdotP_y(n)=2^y $, ovviamente. $ ~P_y(n) $ e' appunto il polinomio a sx che si ottiene considerando le soluzioni che risolvono per un certo y
ovviamente $ ~P_y(0)=\frac{k^3+2k+1}{2^y} $
per n>0 il polinomio e' sempre >1 per forza si, ma in 0 non e' banale. Avviene se appunto $ ~P_y(0)>1 $ definitivamente.
in pratica dimostrare che per $ ~y\geq\hat{y}>2 $ si ha che quella frazione non e' 1
fissiamo y>0
la x sara' $ ~x\equiv k \mod 2^y $, ovvero $ $x=k+2^yn\; n\geq0 \; 0<k<2^y $ (ovviamente x non puo' essere pari)
Fin qui nulla di strano.
Sostituendo otteniamo $ ~2^y\cdotP_y(n)=2^y $, ovviamente. $ ~P_y(n) $ e' appunto il polinomio a sx che si ottiene considerando le soluzioni che risolvono per un certo y
ovviamente $ ~P_y(0)=\frac{k^3+2k+1}{2^y} $
per n>0 il polinomio e' sempre >1 per forza si, ma in 0 non e' banale. Avviene se appunto $ ~P_y(0)>1 $ definitivamente.
in pratica dimostrare che per $ ~y\geq\hat{y}>2 $ si ha che quella frazione non e' 1
Inviato: 09 giu 2010, 22:37
ok... problema di base... $ $x<2^y $ quindi n vale 0 e di conseguenza si ritorna subito al problema di partenza abbiamo solo sostituito x con k...
Il resto di quello che hai scritto non l'ho proprio capito
Il resto di quello che hai scritto non l'ho proprio capito
Inviato: 09 giu 2010, 23:13
mi viene il dubbio che ci sia qualcosa da capire 
faccio una passeggiat, prendo aria e poi rivedo
faccio una passeggiat, prendo aria e poi rivedo
Inviato: 10 giu 2010, 16:57
Vedete che è uno dei quesiti di ammissione al senior..
