Inepretazione di un problema.

[Claudio.]

Un problema che dovrebbe essere semplice, e probabilmente lo è, mi ha dato e mi da ancora problemi di interpretazione:

Sia X un insieme di numeri interi positivi. Si sa che X contiene almeno un elemento maggiore di 1 e che, tutte le volte che contiene un certo n contiene anche tutti i numeri maggiori di n ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n.

Io l'ho interpretato così, faccio un esempio: Se 2 è il primo numero dell'insieme allora 3 appartiene all'insieme, 4 no perchè è multiplo di 2, 5 si 6 no ecc....

Invece mi è parso di capire che debba essere interpretato così: Il primo numero è 2, quindi il 3 va bene ma va bene anche il 4 perchè non è multiplo di 3 ma è maggiore di 3 quindi rientra, di conseguenza entrano tutti i numeri maggiori di 2...

Qualcuno può chiarirmi le idee?

[Nonno Bassotto]

Io lo interpreto come te, ma la tesi qual è?

[Tibor Gallai]

santa madonna.

Dice "eventualmente", quindi ciascun multiplo di n può appartenere o può non appartenere.
E' come dire: se contiene n, contiene anche i numeri maggiori di n che non sono multipli di n.

Comunque non c'è niente da interpretare in quel testo, sia ben chiaro.
Citi la fonte? Non mi è nuova la cosa, potrebbe provenire dai problemi del dipartimento di matematica Enriques, ma non ne sono sicuro.

[Spammowarrior]

la seconda che hai detto.
c'è scritto "eventualmente" quindi i multipli possono esserci o non esserci (anche se alla fine di fatto ci sono per forza tutti).

te lo dimostro:
diciamo che c'è n, allora tutti i primi maggiori di n ci sono.
comunque si prenda un numero composto k maggiore di n, posso scegliere un primo a lui inferiore (ed appartenente all'insieme) e che non lo divide. allora ripetendo il ragionamento rispetto a questo primo, sono obbligato a mettere k nell'insieme.

[Tibor Gallai]

io lo interpreto così:
se per caso c'è il due, allora tutti i primi maggiori di due ci sono.
comunque si prenda un numero composto, posso scegliere un primo a lui inferiore e che non lo divide. allora rispetto a questo primo, sono obbligato a mettere il numero composto.

Cosa c'entrano i primi, adesso?
Il tizio sopra ha detto "il primo numero", non "numero primo", e il suo era comunque solo un esempio.
Ma vi siete tutti ubriacati pesantemente?

Quel testo è chiaro, basta leggerlo, è scritto in Italiano.

[Gatto]

Non bastava dire che se contiene n diverso da 1 allora contiene ogni numero >= n ?
Contiene n, contiene quindi n+1, ogni numero >= n+2 non è multiplo di almeno uno tra n e n+1 perchè sono coprimi e quindi è contenuto...

[Tibor Gallai]

Gatto, preferirei tanto sbagliarmi, ma purtroppo ho l'impressione che quella che proponi tu sia in realtà la tesi.
E tu dirai: ma è ovvia, come fa ad essere la tesi??
E io ti darei anche ragione, se non fosse che qui stiamo ancora discutendo sull'interpretazione del testo, quindi vedi un po' tu...

[Spammowarrior]

Cosa c'entrano i primi, adesso?
Il tizio sopra ha detto "il primo numero", non "numero primo", e il suo era comunque solo un esempio.
Ma vi siete tutti ubriacati pesantemente?

Quel testo è chiaro, basta leggerlo, è scritto in Italiano.

so la differenza tra primo numero e numero primo, me l'hanno insegnata assieme alla differenza tra "pierino mangia la mela" e "la mela mangia pierino"
stavo cercando di spiegargli cosa richiedesse il problema, facendogli vedere come si risolve il problema.

[Spammowarrior]

ogni numero >= n+2 non è multiplo di almeno uno tra n e n+1 perchè sono coprimi e quindi è contenuto...

scusami ma questo è falso, stai dicendo che nessun numero è multiplo di due numeri consecutivi

[Tibor Gallai]

stavo cercando di spiegargli cosa richiedesse il problema, facendogli vedere come si risolve il problema.

Io onestamente sono sconsolato.
Come facevi a spiegargli come si risolve il problema, se Claudio non ha detto nemmeno qual è la tesi?!? Come si risolve un problema senza tesi?
Poi, continuo a ripeterti che non gli hai affatto chiarito il testo, magari se provi a rileggerlo te ne accorgi anche da solo (forse).

[Tibor Gallai]

scusami ma questo è falso, stai dicendo che nessun numero è multiplo di due numeri consecutivi

Il claim di Gatto è giusto, solo che ha sbagliato a dimostrarlo.
Il modo giusto di dimostrarlo è per induzione: se n>1 è contenuto nell'insieme, allora anche n+1 è contenuto, perché non è multiplo di n.

[Tibor Gallai]

QED, ho googlato il testo:
http://www.sandrodiremigio.com/giochi/g ... ri_200.htm

167) GLI INSIEMI
Sia X un insieme di numeri interi positivi. Si sa che X contiene almeno un elemento maggiore di 1 e che, tutte le volte che contiene un certo numero n, contiene anche tutti i numeri maggiori di n ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n. Quali delle seguenti affermazioni è certamente corretta?
X è un insieme finito
L'insieme X è l'insieme degli interi positivi che non appartengono ad X sono entrambi infiniti
X contiene tutti i numeri primi
Esiste un numero m tale che X contiene tutti gli interi maggiori di m
X è uguale all'insieme di tutti gli interi positivi.

Pessimo.

[Spammowarrior]

stavo cercando di spiegargli cosa richiedesse il problema, facendogli vedere come si risolve il problema.

Io onestamente sono sconsolato.
Come facevi a spiegargli come si risolve il problema, se Claudio non ha detto nemmeno qual è la tesi?!? Come si risolve un problema senza tesi?
Poi, continuo a ripeterti che non gli hai affatto chiarito il testo, magari se provi a rileggerlo te ne accorgi anche da solo (forse).

mi sono espresso male, evidentemente: non parlo del quesito da cui è tratto, parlo del dubbio che ha avuto l'op: la tesi del quesito non la so, so solo la domanda che ha fatto claudio: com'è fatto questo insieme? ha chiesto se è fatto in un certo modo o in un altro, e io gli ho risposto.
ho provato a dare una dimostrazione della mia affermazione (effettivamente per induzione si risolve più facilmente, ma mi era venuto in mente quell'altro metodo più contorto)
se poi non sono stato chiaro non lo so, posso non essermi spiegato bene, su questo non c'è dubbio.
anzi, magari edito e scrivo meglio, ok?

[Claudio.]

Comunque il problema viene dall'archimede 1996, comprendendo il testo non c'è nessuna difficoltà, non era un aiuto nella risoluzione che cercavo(come suggerisce la sezione) ma proprio nell'interpretazione. Quindi praticamente se quell "eventualmente" non ci fosse stato la mia interpretazione sarebbe stata corretta? Io non gli avevo dato peso pensando che era stato messo per non escludere la possibilità che l'insieme per una qualsiasi ragione "finisse" prima di un mutiplo di n, per quanto assurdo sia.

Comunque nelle soluzioni ufficiali è giustificato più o meno come nel mio secondo esempio, riporto testualmente:

Se n > 1 è un elemento di X allora n + 1 è maggiore di n ma non è multiplo di n e quindi appartiene ad X. Analogamente, tutti i numeri n + 2 ; n + 3 ... appartengono ad X.

[Tibor Gallai]

Quindi praticamente se quell "eventualmente" non ci fosse stato la mia interpretazione sarebbe stata corretta?

No. Assolutamente no.
Se il testo dice "A è incluso nell'insieme", non sta dicendo "ciò che non è in A non appartiene all'insieme". Se pensi che dica quello, ti stai inventando cose. Non lo dice.

Senza l'"eventualmente", direbbe: "tutte le volte che contiene un certo n contiene anche tutti i numeri maggiori di n ad eccezione dei multipli di n". Di nuovo, non sta dicendo che i multipli di n non appartengono. Quindi aggiungere "eventualmente" è solo un (vano) tentativo di scrivere più chiaramente l'enunciato, ma non è strettamente necessario.

Poi è terribile che questo problema sia stato dato ad Archimede. Nota intanto che (E) implica (C), quindi la risposta (E) si può escludere anche senza conoscere il testo. Poi è sufficiente fare un solo esempio esplicito di un tale insieme per escludere tutte le risposte tranne la (D), e tutto questo senza capire veramente come mai è vera. Ergo il problema è solo e tristemente un problema d'interpretazione del testo. E questo è molto avvilente.