Triangolo rettangolo e circonferenza

[Mike]

Abbiamo un bel triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, e sappiamo che il cateto minore misura l, quello maggiore 2l. Ciò detto, tracciamo una circonferenza di centro A e raggio l. Essa interseca l'ipotenusa nel punto P. Tracciamo ora le proiezioni di P sui due cateti, e ci chiediamo quanto misurino AK e AF.

[Giuseppe R]

Per le potenze di un punto $ BP \cdot BC = d^2 - r^2 $ con d = distanza di B dal centro della circonferenza = AB e r = raggio della circonferenza.
Quindi, dato che $ d = 2l, r=l, BC = \sqrt5 \cdot l $ (Pitagora) ho:
$ BP \cdot \sqrt 5 \cdot l = 4l^2 - l^2 $
$ BP = \frac{3 \sqrt 5 \cdot l}{5} $
Quindi il rapporto di similitudine fra i triangoli CFP e PKB è di 2/3 (che sono simili si vede con angle chasing).
Da cui $ FP = \frac{2}{3} KB $, ma $ FP + KB = 2l $. Quindi $ FP = AK = \frac{4}{5} l $
Analogamente per l'altro lato si ha $ CF = \frac{2}{3} PK $ e $ CF + PK = l $. Quindi $ PK = AF = \frac{3}{5} l $

[Mike]

Giusto!
Un'altra soluzione può essere questa: chiamati x e y i due segmenti, instauriamo una similitudine fra un triangolo piccolo e quello grande. Dopodiché abbiamo anche la relazione $ x^2 + y^2 = l^2 $, quindi il gioco è fatto.

[amatrix92]

Basta risolvere il seguante sistema:
1)$ PK^2+FP^2=l^2 $
2) $ PK \cdot l + \frac {PF \cdot l }{2} =l^2 $

L'eq. 1 l'ho trovata applicando pitagora ad APK dove ovviamente AK = PF
L'eq. 2 ho calcolato l'area ABP e l'area APC che sommate devono dare l'area totale $ 2l * l /2 $