Circonferenze che sezionano il piano

[Mike]

In un piano ci sono n circonferenze. In quante parti, al massimo, queste n circonferenze dividono il piano?
E se invece di n circonferenze abbiamo n ellissi?

[Mist]

Bon, facciamo quello facile con le circonferenze... Che qualcuno si metta a fare le ellissi

Si considerino $n$ circonferenze che generano il massimo numeri di partizioni del piano. Ne aggiungo una. Questa si interseca con ognuna delle $n$ circonferenze precedentemente presenti in $2n$ punti, e genera quindi $2n$ nuove parti di piano (se pensate di tracciare dei segmenti anzichè degli archi tra questi punti vi sarà subito chiaro). Quindi, decco $c_n$ il numero di parti in cui viene partizionato il piano da $n$ circonferenze, si ha che

$$c_{n} = c_{n-1} +2(n-1) = c_1+2\sum_{r=1}^{n-1}r = 2+n(n-1)$$

E con le ellissi cambia solo che i punti di intersezione sono $4$ Che tristezza