OliForum Matematico

Non so davvero dove piazzarlo, lo piazzo qui, ma con buona probabilità è sbagliato. (non lo metto in mne perchè non c'è proprio nulla di ne) (forse era più azzeccata combinatoria o Tdn... )
Spostato in Combinatoria, che mi sembra più appropriato. ---FrancescoVeneziano

Nessuno si faccia spaventare dalla definizione, non è affatto tosto (almeno il punto 1,2... gli altri per me sono ancora un mistero )

Un piano proiettivo consiste di una coppia di 2 insiemi finiti, uno ($P$) di punti e uno di rette ($R$) e di una relazione tra rette e punti detta incidenza, che ha queste proprietà:

• Dati 2 punti esiste esattamente una retta incidente con entrambi
• Date 2 rette esiste esattamente un punto incidente con entrambe
• Esistono 4 punti, tali che comunque ne prendo 3 non esiste una retta incidente con tutti e 3

1) Dimostrare che esiste $n$ intero tale che $|P|=|R|=n^2+n+1$
2) Trovare un esempio per n=2
3) Dimostrare che esiste sempre un esempio se $n$ è primo
3) Dimostrare che esiste sempre un esempio se $n$ è potenza di un primo
4) Dimostrare o confutare che esiste (o forse esista ) un esempio se $n$ non è potenza di primo (questa è una congettura aperta )

Già che ci siamo vi informo che per quanto riguarda il punto 4, uno dei pochissimi risultati noti è il teorema di Bruck-Ryser, che afferma:
Se il numero $ n $ introdotto al punto 1 è congruo a 1 o a 2 modulo 4, allora $ n $ è esprimibile come somma di due quadrati.

Il teorema non è neanche molto difficile, ma usa qualche fatto più avanzato di teoria dei numeri, oppure c'è una dimostrazione più elementare ma estremamente truccosa.

Questa affermazione:

Esistono 4 punti, tali che comunque ne prendo 3 non esiste una retta incidente con tutti e 3

implica che la cardinalita' di $ P $ sia $ \geq4 $ ?

Se la risposta è no allora per il punto 1) mi basta pendere i 3 vertici di un triangolo ABC: $ |R|=3=\{ AB, BC, AC\} \ , \ |P|=3=\{A,B,C\} $ e inoltre $ 1^2+1+1=3 $, quindi l'intero n esiste ed è (anche) $ n=1 $

E invece la risposta è sì...

Ok, riprovo a renderlo banale.

Questa affermazione:

Date 2 rette esiste esattamente un punto incidente con entrambe

se ho capito bene implica che anche 2 rette parallele hanno uno e un solo punto di incidenza.

Da qui si dimostra facilmente che $ n $ rette parallele hanno un solo punto di incidenza. (Giusto )

Ora per il punto 2) mi basta considerare 6 rette parallele e una retta trasversale alle 6 parallele. Avrò 7 punti e 7 rette e inoltre $ 7=2^2+2+1 $

E quali sono i quattro punti a tre a tre non allineati?

FrancescoVeneziano ha scritto:E quali sono i quattro punti a tre a tre non allineati?

Giusto scusate. Evidentemente non è banale come credevo.

amatrix92 ha scritto: se ho capito bene implica che anche 2 rette parallele hanno uno e un solo punto di incidenza.

Cosa sono due rette parallele? Nessuno le ha mai definite.
In un problema come questo la terminologia "geometrica" è comoda perché permette di usare un po' di intuizione, ma il problema è su una struttura algebrica che poco ha a che fare con la geometria "vera" (nel senso di Euclidea). Il problema funzionerebbe perfettamente se invece di chiamarli "punti" e "rette" si chiamassero "tavoli" e "sedie".

Non ho capito una cosa: dati due punti appartenenti a P la retta incidente con i due punti deve appartenere a R? e viceversa?
In altre parole gli insiemi R e P devono essere chiusi rispetto alla relazione di incidenza?

paga92aren ha scritto:Non ho capito una cosa: dati due punti appartenenti a P la retta incidente con i due punti deve appartenere a R? e viceversa?
In altre parole gli insiemi R e P devono essere chiusi rispetto alla relazione di incidenza?

Beh certo... l'insieme R è l'insieme delle rette... quindi le rette stanno là dentro...

paga92aren ha scritto:In altre parole gli insiemi R e P devono essere chiusi rispetto alla relazione di incidenza?

Questo "in altre parole" non è chiaro. L'incidenza è una relazione tra rette e punti, non un'operazione. Ti dice se il "punto" "sta" sulla "retta", usando la terminologia geometrica.

Per ora mi limito al 2: un esempio che funziona è con 7 punti A,B,C,D,E,F,G e le "rette" per i punti ABC, CDE, AFE, AGD, CGF, EGB, BDF
Una rappresentazione con il significato solito attribuito a "rette" mi sembra sia impossibile, e sto ancora cercando una rappresentazione più o meno decente sul piano. Il mio massimo è stato un triangolo con vertici A,C,E, incentro G e punti di tangenza con l'incentro D, E, F. Le "rette" sono i lati, le ceviane e la circonferenza. Questa rappresentazione ha però il problema che nel disegno appaiono più intersezioni di quelle che in realtà ci sono...

NO scusa non ho capito, facendo il tuo disegno in più modi mi viene che è impossibile che tutte le rette da te segnate siano "rette", più precisamente mi viene che è impossibile che i punti BDF siano allineati se lo sono tutti gli altri.

Questo problema ha fatto un sacco di confusione. Non è un problema di geometria, è un problema di combinatoria.
Quando dario2994 parlava di insiemi P ed R di punti e di rette intendeva che gli elementi di P li chiamiamo punti e gli elementi di R rette, non che debbano essere necessariamente punti e rette del piano euclideo e che la relazione astratta di incidenza debba essere l'incidenza sul piano euclideo.
Una riformulazione che nasconde l'origine ed il significato del problema, ma che forse confonde meno le idee è:

Un piano proiettivo è un insieme finito $ P=\{p_1,\dotsc, p_h\} $ ed un numero finito $ R_1,\dotsc, R_k\subseteq P $ di sottoinsiemi di P, con le proprietà che:
Per ogni coppia di elementi distinti $ p_i,p_j $, esiste esattamente un $ R_l $ che li contiene entrambi.
Per ogni coppia di $ R_l,R_m $ distinti, la loro intersezione ha esattamente un elemento.
Esistono quattro elementi distinti $ p_a,p_b, p_c,p_d $ tali che, comunque ne prenda tre di questi quattro, non c'è un $ R_l $ che li contenga tutti e tre.

Nessuna menzione di punti o rette: questa è una definizione completamente combinatoria, nella quale la geometria non c'entra nulla.
La terminologia geometrica tradisce l'origine di questa definizione, e mette in luce la sua strettissima parentela con argomenti di geometria, visto che P ed R *in tutti i casi noti* possono davvero essere interpretati come punti e rette—non del piano euclideo, ma di opportuni oggetti "geometrici"; tuttavia la definizione combinatoria ha senso anche senza la struttura geometrica aggiuntiva, e anzi la congettura al punto 4 chiede proprio questo: esiste un esempio di struttura combinatoria che soddisfi questa definizione e che non provenga dalla "geometria"? (per un opportuno significato di geometria).

Credo che per il 2) qualcosa del genere dovrebbe funzionare. L'immagine è in allegato.

La terza ipotesi è soddisfatta dai punti $ P_1, P_2 , P_3, P_4 $.
Poi salvo abbagli mi sembra che ogni coppia di $ P_i , P_j $ sia contenuta in uno ed un solo insieme $ R_i $ e tutte le intersezioni tra gli $ R_i $ abbiano esattamente un elemento al loro interno. Spero che così vada bene.