Proiezioni dei cateti

[Mike]

In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono una il doppio dell'altra; quanto vale il rapporto fra i cateti?
(2) Generalizzate, detto k il rapporto fra le proiezioni.

[Giuseppe R]

In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono una il doppio dell'altra; quanto vale il rapporto fra i cateti?
(2) Generalizzate, detto k il rapporto fra le proiezioni.

Sia C il vertice in qui c'è l'angolo retto e Hc il piede dell'altezza uscente da C. Per le similitudini rispettivamente fra ABC e ACHc e fra ABC e CBHc ho che $ AH_c = \frac{AC^2}{AB} $ e $ BHc = \frac{BC^2}{AB} $. Dato che $ AH_c = k \cdot BH_c $ ho che $ \frac{AC}{BC} = \sqrt{k} $.

[doiug.8]

Detti $ c_1 $ e $ c_2 $ il cateto maggiore e quello minore, $ p_1 $ e $ p_2 $ rispettivamente le loro proiezioni sull'ipotenusa, per il primo teorema di Euclide sia ha che:
$ c_1=\sqrt{p_1(p_1+p_2)} $ e $ c_2=\sqrt{p_2(p_1+p_2)} $
Pertanto:
$ \frac{c_1}{c_2}=\sqrt{\frac{p_1(p_1+p_2)}{p_2(p_1+p_2)}}=\sqrt{\frac{p_1}{p_2}}=\sqrt{k} $

EDIT: ok, non avevo letto il post di Giuseppe!