Problema teoria dei numeri

[Olivo3]

Qualcuno mi può spiegare come si risolve il problema 20 qua http://bioinf.dma.unipi.it/gobbino/Home ... /TI_NJ.pdf ?

[paga92aren]

Soluzione: $13|n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$ poiché 13 è primo o $13|n+1$ o $13|n^2-n+1$
Nel secondo caso sottraggo 13 e ottengo che $13|n^2-n-12=(n-4)(n+3)$ sempre per il motivo di prima o 13 divide il primo o il secondo termine (sono primi tra loro).
Tra 0 e 100 ci sono esattamente 3*7+1 valori di $n$ che soddisfano la condizione. quindi la risposta dovrebbe essere la D

[Olivo3]

Non ho capito bene...
Potreste spiegarmelo con parole più semplici?

[paga92aren]

Le idee sono poche:
1) scompongo il polinomio (somma di cubi)
2) dimostro (lo ho dato per scontato) che i due polinomi sono primi tra loro
3) 13 (in quanto numero primo) divide solo uno dei due polinomi

$n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$
Il secondo polinomio è divisibile per 13 se e solo se $n^2-n+1-13$ è divisibile per 13
Quindi ripeto su questo polinomio di 2° grado i tre passi di prima.

Ottengo che $13|n^3+1$ se e solo se divide uno di questi tre polinomi $n+1$, $n+3$ o $n-4\equiv n+9$.
Poi conto i valori di $n$ minori di 100 che soddisfano la condizione.

[Claudio.]

Ti sei perso una soluzione sono gli $n\equiv 4,10,12 \pmod {13}$, sono 3*7+1, forse hai perso 95.

[paga92aren]

Errore stupidissimo correggo subito.
I numeri sono 22.