Stage Parma 2007: To understand recursion...

[Mist]

Sia $\{ x_n \} _n$ una successione tale che $(x_0,x_1) \in \mathbb{R}_{0}^+$ e $x_{n+2} = \frac{1+x_{n+1}}{x_n}$.

Trovare $x_{2007}$

[paga92aren]

Sia $\{ x_n \} _n$ una successione tale che $(x_0,x_1) \in \mathbb{R}_{0}^+$ e $x_{n+2} = \frac{1+x_{n+1}}{x_n}$.

Trovare $x_{2007}$

Noto che $x_n+1=x_{n+1}x_{n-1}$ e svolgo un po' di calcoli:
$x_{n+2} = \frac{1+x_{n+1}}{x_n}=\frac{x_{n-1}+1+x_n}{x_nx_{n-1}}=\frac{x_nx_{n-2}+x_n}{x_nx_{n-1}}=\frac{x_{n-2}+1}{x_{n-1}}=\frac{x_{n-1}x_{n-3}}{x_{n-1}}=x_{n-3}$
Per cui se $i\equiv j \mod 5$ allora $x_i=x_j$ in particolare $x_{2007}=x_2=\frac{1+x_1}{x_0}$