staffetta algebra 31

[paga92aren]

Trovare il più grande valore di $\alpha$ tale che per ogni $x,y,z$ reali positivi: $$\alpha \sum x^2y\leq \sqrt{\sum x^3y}$$
Sapendo che $\sum x =3$ (per $\sum$ intendo una sommatoria ciclica in tre variabili)

[amatrix92]

Trovare il più grande valore di $\alpha$ tale che per ogni $x,y,z$ reali positivi: $$\alpha \sum x^2y\leq \sqrt{\sum x^3y}$$
Sapendo che $\sum x =3$ (per $\sum$ intendo una sommatoria ciclica in tre variabili)

Scusami la domanda idiota ma non vorrei mal interpretare il testo. La prima sommatoria ciclica è $ x^2y+z^2x+y^2z $ ?

[patatone]

$\alpha=\sqrt 3/3$. Per x=y=z=1 si ha l'uguaglianza quindi $\alpha$ non può essere minore.
Dimostriamo che la disuguaglianza è effettivamente vera:
abbiamo che $(x+y+z)^2>=3(xy+xz+yz)$ quindi $xy+yz+xz<=3$. Segue che
$\sqrt{3(x^3y+y^3z+xz^3}>=\sqrt{(xy+yz+xz)(x^3y+y^3z+xz^3)}>=(x^2y+y^2z+xz^2)$
dove nel secondo passaggio si usa cauchy

[paga92aren]

ok tutto giusto, forse era un po' semplice...
Vai con la prossima!!!

[<enigma>]

$\alpha=\sqrt 3/3$. Per x=y=z=1 si ha l'uguaglianza quindi $\alpha$ non può essere minore.
Dimostriamo che la disuguaglianza è effettivamente vera:
abbiamo che $(x+y+z)^2>=3(xy+xz+yz)$ quindi $xy+yz+xz<=3$. Segue che
$\sqrt{3(x^3y+y^3z+xz^3}>=\sqrt{(xy+yz+xz)(x^3y+y^3z+xz^3)}>=(x^2y+y^2z+xz^2)$
dove nel secondo passaggio si usa cauchy

Codice: Seleziona tutto

\geq

$ \geq $

Codice: Seleziona tutto

\leq

$ \leq $

[Anér]

Per i posteri che stanno leggendo le varie tappe della staffetta il problema successivo è qui.