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staffetta algebra 31
Inviato: 20 gen 2011, 20:26
da paga92aren
Trovare il più grande valore di $\alpha$ tale che per ogni $x,y,z$ reali positivi: $$\alpha \sum x^2y\leq \sqrt{\sum x^3y}$$
Sapendo che $\sum x =3$ (per $\sum$ intendo una sommatoria ciclica in tre variabili)
Re: staffetta algebra 31
Inviato: 20 gen 2011, 21:04
da amatrix92
paga92aren ha scritto:Trovare il più grande valore di $\alpha$ tale che per ogni $x,y,z$ reali positivi: $$\alpha \sum x^2y\leq \sqrt{\sum x^3y}$$
Sapendo che $\sum x =3$ (per $\sum$ intendo una sommatoria ciclica in tre variabili)
Scusami la domanda idiota ma non vorrei mal interpretare il testo. La prima sommatoria ciclica è $ x^2y+z^2x+y^2z $ ?
Re: staffetta algebra 31
Inviato: 20 gen 2011, 21:39
da patatone
$\alpha=\sqrt 3/3$. Per x=y=z=1 si ha l'uguaglianza quindi $\alpha$ non può essere minore.
Dimostriamo che la disuguaglianza è effettivamente vera:
abbiamo che $(x+y+z)^2>=3(xy+xz+yz)$ quindi $xy+yz+xz<=3$. Segue che
$\sqrt{3(x^3y+y^3z+xz^3}>=\sqrt{(xy+yz+xz)(x^3y+y^3z+xz^3)}>=(x^2y+y^2z+xz^2)$
dove nel secondo passaggio si usa cauchy
Re: staffetta algebra 31
Inviato: 20 gen 2011, 21:51
da paga92aren
ok tutto giusto, forse era un po' semplice...
Vai con la prossima!!!
Re: staffetta algebra 31
Inviato: 21 gen 2011, 15:09
da <enigma>
patatone ha scritto:$\alpha=\sqrt 3/3$. Per x=y=z=1 si ha l'uguaglianza quindi $\alpha$ non può essere minore.
Dimostriamo che la disuguaglianza è effettivamente vera:
abbiamo che $(x+y+z)^2>=3(xy+xz+yz)$ quindi $xy+yz+xz<=3$. Segue che
$\sqrt{3(x^3y+y^3z+xz^3}>=\sqrt{(xy+yz+xz)(x^3y+y^3z+xz^3)}>=(x^2y+y^2z+xz^2)$
dove nel secondo passaggio si usa cauchy
$ \geq $
$ \leq $
Re: staffetta algebra 31
Inviato: 07 feb 2011, 19:36
da Anér
Per i posteri che stanno leggendo le varie tappe della staffetta il problema successivo è
qui.