Problema Teoria dei Numeri

[CuboRubik]

Sono nuovo per quanto concerne la teoria dei numeri e mi trovo in difficoltà col seguente problema:
Determinare le coppie intere (x,y) tali che soddisfino l'uguaglianza 3*x^2-2*y^2==1998.
Ringrazio già chi mi saprà aiutare, con le congruenze io arrivo a dimostrare che esiste almeno una coppia.. Per il resto necessito di qualche brillante idea che sn sicuro di poter trovare qui..

[Mist]

Sono nuovo per quanto concerne la teoria dei numeri e mi trovo in difficoltà col seguente problema:
Determinare le coppie intere (x,y) tali che soddisfino l'uguaglianza 3*x^2-2*y^2==1998.
Ringrazio già chi mi saprà aiutare, con le congruenze io arrivo a dimostrare che esiste almeno una coppia.. Per il resto necessito di qualche brillante idea che sn sicuro di poter trovare qui..

invito i moderatori a spostare il mesasggio in tdn.

$3x^2-2y^2 = 1998$.

Si nota subito che $2\mid x$ e che quindi $y \equiv 1 \mod{4}$ ( ma quest'ultima cosa non credo che sia importantissima...)
L'equazione diventa:
$3x_1^2-y^2 = 999$ e quindi $3 \mid y$
L'equazione diventa: $x_1^2 +3y_1^2 = 333$.
Applicando lo stesso ragionamento di prima si arriva a $3x_2^2+y_1^3 = 111= 3 \cdot 37$ e quindi si deve avere che $x_2^2+3y_2^2 = 37$. ora $37 \equiv 1 \mod{4}$e anche modulo 3. ora, siccome mi è sembrato che tu fossi abbastanza esperto, salto i passaggini e oto che si ottiene che $x_2^2 \equiv 1 \mod{4}$, $x_2^2 \equiv 1 \mod{3}$ e che $y_2^2 \equiv 0 \mod{4}$ e quind $x_2^2 \equiv 1 \mod{12}$. Posso quindi ponendo $y_2 = 2y_3$ e $x_2^2 = 12k+1$ posso riscrivere l'equazione come $12k+1 +12y_3^2 = 37$ ovvero $k+y_3^2 = 3$ Quindi $y_3=1$ ( se no cresce troppo) e quindi $k=2$. Questo dovrebbe portare all'unica soluzione

[staffo]

Scusa un secondo, ma nel primo passaggio se $ 2|x $, allora devi porre $ x=2x_1 $ e quindi l'equazione diventa $ 6x_1^2 - y^2 = 999 $ e non come hai scritto tu, o mi sbaglio?

[Mist]

Ecco, infatti, a non voler fare i passaggi si ottiene questo.

Dai, tra poco mi ci rimetto, chiedo scusa, quando edito avverto, sempre che nessuno mi anticipi...

[matty96]

Io ho fatto questo problema e ho dimostrato che non esistono soluzioni intere

[ma_go]

[...]con le congruenze io arrivo a dimostrare che esiste almeno una coppia..[...]

solo una piccola nota: le congruenze non ti daranno mai l'esistenza di una soluzione, ti possono dare solo delle condizioni sull'esistenza di tali soluzioni (e se guardi un po' di thread su diofantee che coinvolgono l'uso di congruenze, ti renderai conto di cosa voglio dire).

[staffo]

Comunque mist io ho fatto il tuo stesso procedimento e ho dimostrato pure io che non ce ne sono, quindi la tua strada era quella giusta, qualche aggiustatina e ci sei.

[Mist]

Dai, ci riprovo allora...

come detto da staffo, siccome si vede che $2 \mid x$ si ha che l'equazione diventa $6x^2-y^2 = 999$ ( non sto a mettere pedici e pedici, perdonatemi...) Da qui si deduce che $3 \mid y$ e quindi l'equazione ora è $2x^2-3y^2 = 333$ Si nota che si deve avere che $3 \mid x$ e quindi si ha che $6x^2-y^2 = 111$ ergo $3\mid y$ e si deve aver perciò che $2x^2-3y^2 = 37$. ora, siccome $37 \equiv 1 \mod{4}$ si deve avere che $ x^2 \equiv 0 \mod{4}$ e $ y^2 \equiv 1 \mod{4}$. Si ha quindi, posto $x= 2j$ e $y=2k+1$ che l'equazione diventa sostituendo $8j^2 -12k^2-6k-3 = 37$ ovvero $4j^2-6k^2-3k = 20$ ergo $k \equiv 0 \mod{4}$ da cui, posto $k=4u$, si ha che $4j^2-6\cdot 4^2u^2-12u = 20$ e quindi si ha che $ j^2-24u^2-3u =5$ che modulo 3 diventa $j^2 \equiv -1$ che è asssurdo perchè $-1$ non è residuo quadratico

Editato, ora dovrebbe essere tutto a posto

[matty96]

Non ci posso credere,sei arrivato alla mia stessa conclusione(solo che in un modo un pochino diverso).Comunque hai messo qualche + strana.

P.S. io nell'equazione $2x^2-3y^2=37$ l'ho vista attraverso congruenze (perchè avevo già visto la lezione di fph,quindi l'ho risolto in modo simile) e sono arrivato subito alla conclusione

[Claudio.]

Tutto ciò è terribile ^^

PS: Si in effetti basta mod 3 su quella.

[Mist]

cosa è terribile ? La quantità di calcoli inutili in cui mi sono impelagato ?

[SkZ]

[...] $2x^2+3y^2 = 333$ Si nota che si deve avere che $3 \mid x$ e quindi si ha che $6x^2-y^2 = 111$ [...]

com'e' che e' cambiato il segno?
da sommadi 2 quantita' positive siamo passati a differenza

[Mist]

Il problema postato in origine era una differenza, mi sa che ho sbagliato a ricopiare dalla carta, chiedo scusa ed edito

[Claudio.]

cosa è terribile ? La quantità di calcoli inutili in cui mi sono impelagato ?

No intendevo che il problema, se non ha altra soluzione che non consista in continue sostituzione è brutto ^^

[matty96]

Ho provato a farla con meno sostituzioni (che poi ne ho risparmiata solo 1 o 2,da come l'avevo fatta) e l'inizio sembrava buono,ma verso la fine arrivavi a una cosa mostruosa.Penso che quella di Mist(analizzando mod 3 ) sia la più corta e chiara...Però se qualcuno ha idee,proponga...