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Dimostrare che se $ 4^n+2^n+1 $ è primo (per n ∈ N), allora n è una potenza di 3.



Sicuramente bisognerà trovare una fattorizzazione del polinomio, che non "funzionerà" per n potenza di 3 per un qualche motivo.

Qualche hint sulla fattorizzazione?

è forse un modo gentile per uppare quel tuo bonus Mi metto all'opera...

$5^n+3^n+1 \in \mathbb{P} \rightarrow 12|n$

L'equazione diventa $5^{n}+1 \equiv (-1)^n+1 \mod{3}$ e quindi $n=2k$, altrimenti il numero sarebbe divisibile per tre.
L'equazione, diventata $25^k+9^k+1$, diventa $(-1)^k +1 \mod{5}$ quindi $k=2m$, altrimenti il numero sarebbe divisibile per cinque.
L'equazione, diventata ora $5^{4m}+3^{4m}+1$, diventa $2^m+(-3)^m+1 \mod{7}$. Siccome si ha che $2^m+(-3)^m+1\not \equiv 0 \mod{7} \iff 3|m$, si ha che $n=12m$ che è la tesi.

L'ultimo passaggio avrebbe bisogno di qualche spiegazione...

Il punto è che:
$5^4 \equiv 2 \mod{7}$ (conto)
$3^4 \equiv (-3)^m \mod{7}$ (altro conto)
e quindi dobbiamo vedere in quali casi
$2^m+(-3)^m +1 \not \equiv 0 \mod{7}$. Ora possiamo scrivere con $1\leq w \leq 2$ $2^{3k+w}+2^m+(-3)^{3k+w} +1 \equiv 2^w+(-3)^w+1$ e qui per tentativi si vede che $2^w+(-3)^w+1 \not \equiv 0 \mod{7}$ se e solo se $w=0$ ovvero se $m \equiv 0 \mod{3}$
Spero di non aver confuso ancora di più...