Disuguaglianza stretta stretta

[Simo_the_wolf]

Dati $ 0 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3 \cdots \leq a_{n-1} \leq a_n $ numeri reali chiamo AM la media aritmetica e QM la media quadratica. Si dimostri che
$ \displaystyle QM^2 \leq AM^2 + \frac 14 (a_n - a_1 )^2 $
anzi, di più:
$ \displaystyle QM^2 + (\frac{a_n+a_1}2 - AM)^2\leq AM^2 + \frac 14 (a_n - a_1 )^2 $

Vi sfido a trovare la dimostrazione più bella

[dario2994]

Lemma della colomba e del fiore: $ \displaystyle QM^2+a_1a_n\le (a_1+a_n)AM $
$\displaystyle 0\le \sum_{i=1}^n(a_n-a_i)(a_i-a_1)=\sum_{i=1}^n(a_1+a_n)a_i-(a_i^2+a_1a_n)\Rightarrow na_1a_n+\sum_{i=1}^na_i^2\le (a_1+a_n)\sum_{i=1}^na_i\Rightarrow QM^2+a_1a_n\le (a_1+a_n)AM$

Bon, chiamo $x=\frac{a_n+a_1}{2}$ e $y=\frac{a_n-a_1}{2}$. Ovviamente vale $x^2-y^2=a_1a_n$.
Valgono: $\displaystyle QM^2+(x-AM)^2\le AM^2+y^2\Leftrightarrow QM^2+x^2-y^2\le 2xAM\Leftrightarrow QM^2+a_1a_n\le (a_1+a_n)AM$
Ma l'ultima disuguaglianza è proprio il lemma della colomba e del fiore, quindi, essendo equivalente alla tesi, questa risulta vera