Qualche giorno fa,la nostra professoressa ci ha proposto questo quesito per la risoluzione di un sistema:
Se $ a<100 $ intero positivo, per quanti valori di a il sistema $ x^2=y+a $ e $ y^2=x+a $ ha soluzioni intere. Sono riuscito a risolverlo e mi è piaciuto molto, sapreste dove trovarne dei simili?
Sistema
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paga92aren
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Re: Sistema
$a$ può assumere 19 valori:
Sottraggo le due equazioni e ottengo che $x^2-y^2=y-x$.
Se $x\not = y$ allora $x+y=-1$ da cui $x=-y-1$ che inserita nell'equazione di partenza dà $y^2+y-a+1=0$ da cui $y=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2}$ che è intero se e solo se $4a-3=k^2$ (il numeratore è sempre pari). Sapendo che $1\leq a \leq 100$ allora $1\leq k^2 \leq 397$ da cui $1\leq k \leq 19$ con $k$ dispari. Quindi $k$ può assumere 10 valori e di conseguenza anche $a$.
Se $x=y$ ho $x^2-x-a=0$ da cui $x=\frac{1\pm \sqrt{4a+1}}{2}$ che è intero se e solo se $4a+1=h^2$. $5\leq h^2 \leq 401$ che è vera per $1\leq h \leq 20$ con $h$ dispari, quindi 9 risultati.
Controllo che i valori di $a$ ottenuti nei due casi non coincidono e ho concluso.
Sottraggo le due equazioni e ottengo che $x^2-y^2=y-x$.
Se $x\not = y$ allora $x+y=-1$ da cui $x=-y-1$ che inserita nell'equazione di partenza dà $y^2+y-a+1=0$ da cui $y=\frac{-1\pm\sqrt{4a-3}}{2}$ che è intero se e solo se $4a-3=k^2$ (il numeratore è sempre pari). Sapendo che $1\leq a \leq 100$ allora $1\leq k^2 \leq 397$ da cui $1\leq k \leq 19$ con $k$ dispari. Quindi $k$ può assumere 10 valori e di conseguenza anche $a$.
Se $x=y$ ho $x^2-x-a=0$ da cui $x=\frac{1\pm \sqrt{4a+1}}{2}$ che è intero se e solo se $4a+1=h^2$. $5\leq h^2 \leq 401$ che è vera per $1\leq h \leq 20$ con $h$ dispari, quindi 9 risultati.
Controllo che i valori di $a$ ottenuti nei due casi non coincidono e ho concluso.