Diofantea non difficile (Own)
Inviato: 30 mar 2011, 22:30
Determinare tutti gli interi positivi $ a,b,n $ tali che
$ 15n^2 -ab^2 = 2-n $
$ 15n^2 -ab^2 = 2-n $
Testo nascosto:
$ ab^2=15n^2+n-2(*) $
$ 15n^2+n-(ab^2+2)=0 $
$ n=\frac{-1\pm\sqrt{1+60ab^2+120}}{30}=\frac{-1\pm\sqrt{60ab^2+121}}{30} $
$ 60ab^2+121=k^2 $
$ 60ab^2=k^2-121=(k+11)(k-11) $
$ n=\frac{-1\pm k}{30} $
Caso 1: $ n=\frac{-1+k}{30}\rightarrow k\equiv1 (mod30)\rightarrow k=30x_1+1 $
$ 60ab^2=(30x_1+12)(30x_1-10)=60(5x_1+2)(3x_1-1) $
$ ab^2=(5x_1+2)(3x_1-1)=15x_1^2+x_1-2(*) $
Questa è uguale a quella di partenza e posso ripetere la cosa infinite volte
Dovrebbe essere un esempio di discesa infinita (nel caso capitasse in gara, come dovrei scriverlo?),
quindi l'unico caso da controllare è $ x_1=x_2=...=x_i=n=0 $, da cui ottengo
$ ab^2=-2 $ che ha come uniche soluzioni $ a=-2; b=\pm1 $, che però non sono accettabili poiché $ a,n\leq0 $
Caso 2: $ n=\frac{-1-k}{30} $
però così $ n<0 $ poiché $ k\in N $, quindi non ci sono terne $ (a,b,n)\in N^3 $ che soddisfano l'equazione iniziale
$ 15n^2+n-(ab^2+2)=0 $
$ n=\frac{-1\pm\sqrt{1+60ab^2+120}}{30}=\frac{-1\pm\sqrt{60ab^2+121}}{30} $
$ 60ab^2+121=k^2 $
$ 60ab^2=k^2-121=(k+11)(k-11) $
$ n=\frac{-1\pm k}{30} $
Caso 1: $ n=\frac{-1+k}{30}\rightarrow k\equiv1 (mod30)\rightarrow k=30x_1+1 $
$ 60ab^2=(30x_1+12)(30x_1-10)=60(5x_1+2)(3x_1-1) $
$ ab^2=(5x_1+2)(3x_1-1)=15x_1^2+x_1-2(*) $
Questa è uguale a quella di partenza e posso ripetere la cosa infinite volte
Dovrebbe essere un esempio di discesa infinita (nel caso capitasse in gara, come dovrei scriverlo?),
quindi l'unico caso da controllare è $ x_1=x_2=...=x_i=n=0 $, da cui ottengo
$ ab^2=-2 $ che ha come uniche soluzioni $ a=-2; b=\pm1 $, che però non sono accettabili poiché $ a,n\leq0 $
Caso 2: $ n=\frac{-1-k}{30} $
però così $ n<0 $ poiché $ k\in N $, quindi non ci sono terne $ (a,b,n)\in N^3 $ che soddisfano l'equazione iniziale
