6. Somma di proiezioni (Staffetta)

[sasha™]

Sia $P$ un punto interno ad un triangolo $ABC$, e siano $D$, $E$, $F$, le sue proiezioni su $BC$, $AC$ e $AB$ rispettivamente. Determinare tutti i punti $P$ che minimizzano $$\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$$

[spugna]

Siano $ S $ l'area del triangolo e $ 2p $ il suo perimetro: per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha:
$ \left( \dfrac{BC}{PD}+\dfrac{AC}{PE}+\dfrac{AB}{PF} \right)(BC \cdot PD+AC \cdot PE+AB \cdot PF) \ge (BC+AC+AB)^2 $ (1)
da cui segue per sostituzione
$ \dfrac{BC}{PD}+\dfrac{AC}{PE}+\dfrac{AB}{PF} \ge \dfrac{(2p)^2}{2S} $
Il secondo membro è il valore minimo della somma in questione, perciò dobbiamo esaminare il caso di uguaglianza, che, riprendendo la (1), si ha se e solo se
$ \dfrac{\dfrac{BC}{PD}}{BC \cdot PD}=\dfrac{\dfrac{AC}{PE}}{AC \cdot PE}=\dfrac{\dfrac{AB}{PF}}{AB \cdot PF} \Rightarrow \dfrac{1}{PD^2}=\dfrac{1}{PE^2}=\dfrac{1}{PF^2} \Rightarrow PD=PE=PF $
pertanto $ P $ deve essere l'incentro di $ ABC $

[sasha™]

Ok, mi sembra perfetta, per me puoi andare col prossimo.

[spugna]

Ecco il problema 7 con un po' di ritardo...