OliForum Matematico

E' da un po' che ci sbatto la testa, come si può dimostrare che nessun numero naturale $ n $ può essere scritto come $ p^n $, dove p è anch'esso un naturale? (ammesso che ciò sia vero).

Offtopic\Nell'altro post ho dimenticato di ringraziare paga92aren per la soluzione del quesito\Offtopic.

Hawk ha scritto:Offtopic\Nell'altro post ho dimenticato di ringraziare paga92aren per la soluzione del quesito\Offtopic.

di niente (ma a quale quesito ti riferisci?)

Hint: usa le disequazioni

Dimostrazione:

Adesso ci penso, comunque mi riferivo al post del sistema .

Ricordarsi anche del buon $ 1^1=1 $

Forse ci sono. Anzitutto dimostro che $ 2^n\ge\ {n} $, sotto suggerimento di paga92aren, con l'induzione. Passo base: $ 2^0\ge\ {0}=1\ge\ {0} $, adesso poniamo per ipotesi che sia vero per n e dimostriamo che ciò è vero per $ n+1 $. $ 2^{n+1}\ge\ {n+1} $, $ 2^n+2^n\ge\ {n+1} $ e per ipotesi sapevamo che $ 2^n\ge\ {n} $.

Tuttavia adesso devo dimostrare per induzione che $ 2^n\ge\ {1} $, essa è vera per 0 infatti $ 1\ge\ {1} $, diamo per ipotesi che essa sia vera per n e lo dimostro per $ n+1 $ $ => $$ 2^n\cdot{2}\ge\ {1} $, ma poichè sapevamo $ 2^n\ge\ {1} $ allora $ 2^n\ge \ {\frac{1}{2}} $, per cui la tesi è dimostrata.

Ritornando alla tesi precedente, avevamo per ipotesi che $ 2^n\ge\ {n} $, abbiamo dimostrato che $ 2^n\ge\ {1} $
sfruttando la legge di monotonia per le disuguaglianze otteniamo la tesi.

Il gioco funziona, ovviamente, soltanto se $ p\ge\ 2 $.

@ndp15, però $ p $ deve essere diverso da $ n $.

Hawk ha scritto: Tuttavia adesso devo dimostrare per induzione che $ 2^n\ge\ {1} $

credo che questo tu possa anche fare a meno di dimostrarlo!

Hai ragione .
Diciamo che l'ho fatto per non dare nulla per scontato .

Hawk ha scritto:Forse ci sono. Anzitutto dimostro che $ 2^n\ge\ {n} $, sotto suggerimento di paga92aren, con l'induzione. Passo base: $ 2^0\ge\ {0}=1\ge\ {0} $, adesso poniamo per ipotesi che sia vero per n e dimostriamo che ciò è vero per $ n+1 $. $ 2^{n+1}\ge\ {n+1} $, $ 2^n+2^n\ge\ {n+1} $ e per ipotesi sapevamo che $ 2^n\ge\ {n} $.

Tuttavia adesso devo dimostrare per induzione che $ 2^n\ge\ {1} $, essa è vera per 0 infatti $ 1\ge\ {1} $, diamo per ipotesi che essa sia vera per n e lo dimostro per $ n+1 $ $ => $$ 2^n\cdot{2}\ge\ {1} $, ma poichè sapevamo $ 2^n\ge\ {1} $ allora $ 2^n\ge \ {\frac{1}{2}} $, per cui la tesi è dimostrata.

Ritornando alla tesi precedente, avevamo per ipotesi che $ 2^n\ge\ {n} $, abbiamo dimostrato che $ 2^n\ge\ {1} $
sfruttando la legge di monotonia per le disuguaglianze otteniamo la tesi.

Il gioco funziona, ovviamente, soltanto se $ p\ge\ 2 $.

@ndp15, però $ p $ deve essere diverso da $ n $.

Umh, come dimostrazione mi sembra un po' lunga e comunque non dimostra la tesi, hai dimenticato il primo passaggio del suggerimento di page92.
allora, per scrivere la dimostrazione devi innanzitutto dire che $p^n \ge\ s^n$, che è banale per $n \ge\ 2$.
Per $n=1$ e $n=0$ (che sembrerà una cavolata, ma devi verificare dato che nella tua tesi parli di naturali) fai il caso a mano.
Per il resto parti dalla disequazione sopra e da quella ricavi per induzione che $2^n \ge\ n$ .
Per farlo, la prima parte della tua dimostrazione per induzione va bene, poi torni a fare una dimostrazione per induzione del fatto che $2^n \ge\ 1$ per n naturale che è vera sempre, senza bisogno che lo dimostri per induzione
Così ti eviti un pezzo da scrivere e fatica
Spero che questi consigli ti saranno utili


EDIT:

patatone ha scritto:

Hawk ha scritto: Tuttavia adesso devo dimostrare per induzione che $ 2^n\ge\ {1} $

credo che questo tu possa anche fare a meno di dimostrarlo!

hai fatto prima di me a scrivere, non c'è che dire XDXD

Ok, grazie mille Valenash!

Hawk ha scritto:@ndp15, però $ p $ deve essere diverso da $ n $.

E allora scrivilo

Credevo bastava il fatto di aver utilizzato lettere diverse.

Hawk ha scritto:Credevo bastava il fatto di aver utilizzato lettere diverse.

Ovviamente no, non basta.

Va bene, vuol dire che la prossima volta starò più attento.