Canada 2011: somma di rapporti

[Sonner]

Si divide un quadrato in un numero finito di rettangoli bianchi e rossi, ognuno di essi coi lati paralleli a quelli del quadrato. Dentro ogni rettangolo scriviamo il valore base/altezza se è bianco e altezza/base se è nero. Sia S la somma di questi rapporti. Minimizzare S sapendo che la somma delle aree dei rettangoli rossi è uguale a quella di quelli bianchi.

[amatrix92]

Probabilmente ho male interpretato il problema, ma sei sicuro che S ammetta minimo? a me viene $ S > 1 $

[Sonner]

La mia soluzione ha un minimo ben preciso (ed è maggiore di 1). Scrivi quel che hai trovato

[dario2994]

edit: nella soluzione ho assunto che il lato del quadrato sia 1, è più che lecito farlo
Sia B,R la somma dei valori dei rettangoli bianchi e rossi.
Si dimostra facile usando solo il fatto che l'area è la metà del quadrato e i lati non più del lato del quadrato che $B,R\ge \frac12$
Dividendo come ovvio il quadrato in 2 rettangoli uguali si ottiene $B+R=2+\frac12$. Mostro che di meno non si fa.
Siano $b_1,\dots b_k$ e $h_1,\dots h_k$ le basi e le altezze dei rettangoli bianchi, per C.S. vale:
$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^kb_ih_i\right)\left(\sum_{i=1}^k\frac{b_i}{h_i}\right)\ge \left(\sum_{i=1}^kb_i\right)^2\to B\ge 2\left(\sum_{i=1}^kb_i\right)^2$
Ora, se NON esiste una retta verticale che taglia il quadrato e non becca manco una rettangolo bianco vale sicuramente $ \sum_{i=1}^kb_i\ge 1 $ quindi $B\ge 2$. Ma allora dato che $R\ge \frac12$ il bound è rispettato.
Se esiste una retta verticale che taglia il quadrato e non becca manco una rettangolo bianco allora NON ne esisterà una orizzontale che non becca manco un rettangolo rosso, allora con gli stessi ragionamenti $R\ge 2$ e $B\ge \frac12$ che ancora rispetta il bound.

p.s. bel problema, pure originale e difficilotto sono stato conciso, spero si capisca