Sezionare uno spazio

[spugna]

Determinare il numero massimo di "zone" in cui si può dividere uno spazio con 64 piani passanti tutti per uno stesso punto

[amatrix92]

Non vorrei dire cagate ma intuitivamente direi $ 2^{64} $

[spugna]

Non vorrei dire cagate ma intuitivamente direi $ 2^{64} $

A volte l'intuito inganna...

[dario2994]

Qualcuno piazzerebbe una soluzione... perchè sto robo l'abbiamo (squadra del righi) segato 3 volte durante la gara e c'ho pure ripensato poi, arrivando a una roba che non assomiglia manco lontanamente ad una dimostrazione (è tipo un polinomio monico di secondo grado nel numero dei piani, ma ora non ho voglia di calcolarlo) e che credo sia sbagliata...

[spugna]

A me viene questo risultato, ma non vi assicuro niente:

Testo nascosto:

4034

EDIT: chiedo scusa, ho corretto la mia soluzione!

[fph]

Cominciamo dalle cose facili... ditemi se questo lo sapete risolvere: in quante "zone" si può dividere al massimo il piano con 63 rette?

[fph]

Ok, già che ci sono prima di dimenticarmene metto la seconda parte del suggerimento:

Testo nascosto:

Usare la relazione di equivalenza che definisce gli spazi proiettivi per "trasformare" il problema originale in quello che vi ho proposto prima (e che l'olimpiadista IMO-forte "si deve portare da casa" come dice Max). Che fine fa la retta all'infinito nel problema "ridotto"?

[staffo]

quella di dividere il piano con 63 rette, non dovrebbe essere $1+\sum_{1}^{63}k$?
Perchè con al prima retta dividi il piano in due parti, con la seconda, che taglia la prima in un punto, crei due nuove parti, con la terza, che taglia le altre due in due punti, ne crei tre nuove, e così via...

[Valenash]

quella di dividere il piano con 63 rette, non dovrebbe essere $1+\sum_{1}^{63}k$?
Perchè con al prima retta dividi il piano in due parti, con la seconda, che taglia la prima in un punto, crei due nuove parti, con la terza, che taglia le altre due in due punti, ne crei tre nuove, e così via...

Esattamente.
Ora hai quasi finito, ti basta collegare questi modi con il problema originale tramite l'hint di fph..

Ad ogni modo metto questo ultimo passaggio nascosto:

Testo nascosto:

Fissa il primo piano, wlog orizzontale, e un punto P qualsiasi attraverso cui passano tutti gli altri.
Ora immagina un piano parallelo più in alto (immaginario, giusto per capire). Ciascuno dei restanti 63 piani seziona questo piano immaginario creando tanti "pezzi di piano", come se fossero 63 rette a sezionarlo, e ciascuna delle parti corrisponde ad una parte di spazio in cui viene diviso il semispazio dai 63 piani.
per finire moltiplica per due poichè ci sono altrettanti spazi anche al di sotto del piano fissato per primo
Dunque $2 \cdot (1+\sum_{1}^{63}k) = 2 + 63 \cdot 64 = 4034 $ (4034 salvo avere sbagliato i conti XD)

[spugna]

quella di dividere il piano con 63 rette, non dovrebbe essere $1+\sum_{1}^{63}k$?
Perchè con al prima retta dividi il piano in due parti, con la seconda, che taglia la prima in un punto, crei due nuove parti, con la terza, che taglia le altre due in due punti, ne crei tre nuove, e così via...

Esattamente.
Ora hai quasi finito, ti basta collegare questi modi con il problema originale tramite l'hint di fph..

Ad ogni modo metto questo ultimo passaggio nascosto:

Testo nascosto:

Fissa il primo piano, wlog orizzontale, e un punto P qualsiasi attraverso cui passano tutti gli altri.
Ora immagina un piano parallelo più in alto (immaginario, giusto per capire). Ciascuno dei restanti 63 piani seziona questo piano immaginario creando tanti "pezzi di piano", come se fossero 63 rette a sezionarlo, e ciascuna delle parti corrisponde ad una parte di spazio in cui viene diviso il semispazio dai 63 piani.
per finire moltiplica per due poichè ci sono altrettanti spazi anche al di sotto del piano fissato per primo
Dunque $2 \cdot (1+\sum_{1}^{63}k) = 2 + 63 \cdot 64 = 4034 $ (4034 salvo avere sbagliato i conti XD)

Si poteva fare anche così:

Testo nascosto:

Se consideriamo una sfera di raggio arbitrario con centro in $P$, a ogni piano corrisponde una sua circonferenza massima e a ogni zona del piano una parte della sua superficie. Come nel procedimento di staffo, sappiamo che la circonferenza $n+1$ è intersecata dalle altre in $2n$ punti che individuano $2n$ nuove zone, poi si trova una formula generale