Faticosa evasione

[Hawk]

Jack Disparrow con l'aiuto di Will è scappato dalla sua cella che si trova al piano più basso della torre-prigione e vuole salire al piano più alto, da dove spera di riuscire a fuggire. La prigione è composta da 222 piani, numerati da 1 a 222 e collegati da un certo numero di rampe di scale. Dal piano 1 al piano 2 c'è 1 sola rampa di scale con 1 solo gradino. Dal piano 2 al piano 3 ci sono due rampe con 1 e 2 scalini rispettivamente; dal piano 3 al piano 4 ci sono 3 rampe con 1,2 e 3 gradini; e così via. Quanti scalini ci sono in media tra un piano e l'altro?

Il testo viene da una gara a squadre, è abbordabile e quindi vi chiedo di non bruciarlo subito.
L'ho postato per chi come me si trova alle prime armi con le sommatorie .

[SkZ]

ste torri mi lasciano sempre stupito, soprattutto tra gli ultimi 2 piani: come fanno ad coesistere 2 rampe con 1 e 221 gradini
e poi arrivati in cima spero non urli agli inseguitori

una volta un gentiluomo inglese disse: "Anche il combattente piu' audace deve saper apprezzare la pace" quindi alla prossima occasione. Vi prego di scusarmi: una barca mi aspetta

http://www.youtube.com/watch?v=-WPo_K6co10 (ultimi 30s)

[Hawk]

Prendo spunto dal video ( ) proposto da Skz:

Bonus: se l'altezza totale della torre è espressa da $ \displaystyle\sum _{n=1}^{99} (3^n\cdot\frac{3^{n+3}}{2^{n+2}}) $ a quanto equivale l'altezza di ciascuna scala?
Questo è un po' per tutti dato che lo vedo più impegnativo.
E' semi-inventato al momento.

[Drago96]

Direi che il numero totale è dato da: $ \displaystyle{\sum_{i=1}^{221}\sum_{n=1}^{i}n} $
Da qua non saprei come continuare...
Però questo mi può aiutare... $ \displaystyle{\sum_{i=1}^{221} i \cdot ( 222 - i)} $
Lo trasformo in $ \displaystyle{222 \cdot \sum_{i=1}^{221} i - \sum_{i=1}^{221}i^2} $

E dividendo per 221 (per avere la media): $ \displaystyle{{222 \cdot \sum_{i=1}^{221} i \over 221} - {\sum_{i=1}^{221}i^2 \over 221} = {222 \cdot 222 \over 2} - {221 \cdot 222 \cdot 443 \over 6 \cdot 221} = 24642 - 16391= 8251} $

Spero sia giusto...

Da dov'è che viene??

[Hawk]

Corretto!

Ti segnalo però l'errore di calcolo, (secondo me di battitura): 24642-16391=8251

[Drago96]

Corretto!

Ti segnalo però l'errore di calcolo, (secondo me di battitura): 24642-16391=8251

Sì, ora correggo (la mia solita disattenzione... )

Che bello, ho risolto un problema di una gara nazionale.. (anche se a squadre)

[Hawk]

Dato che stiamo in tema provo a rincarare la dose:
Forse può apparire scolastico, ma è un utile esercizio per riepilogare:
Calcolare la somma di 1+2+3-4-5+6+7+8-9-10+.....-2010
3 più seguiti da 2 meno.

[Drago96]

Calcolare la somma di 1+2+3-4-5+6+7+8-9-10+.....-2010

Uhm...
La somma di quelli positivi è: $ \displaystyle{\sum_{i=0}^{401} 3 \cdot (5i+2)} $
I negativi sono $ \displaystyle{- \sum_{i=1}^{402} 10i-1} $
Ora li porto entrambi a "da 0 a 402" e li sommo: $ \displaystyle{ 3 \cdot (\sum_{i=0}^{402} 5i+2) - 6036 - (\sum_{i=0}^{402} 10i-1) - 1 = (\sum_{i=0}^{402} 5i+7) - 6037 = 2821 + 5 \cdot {402 \cdot 403 \over 2} - 6037 = 401799} $

E' possibile??

EDIT: direi di sì, a meno di errori di programmazione:

Codice: Seleziona tutto

<script type="text/javascript">
a = 0;
for (i=1;i<2011;i++) {
if (i%5==0||i%5==4) {
a -= i;
} else {
a += i;
};
};
window.alert(a);
</script>  

[Hawk]

Corretto!

Io l'ho svolto in questo modo:
simile al tuo:

Somma dei positivi=$ 6+\displaystyle\sum_{n=1}^{401} (15n+6) $

Somma dei negativi=$ \displaystyle\sum_{n=1}^{402} (10n-1) $

E dopo si fanno le dovute sottrazioni.

Posto l'ultimo esercizio interessante di cui dispongo:
Calcolare la somma di:

$ \displaystyle\sum_{n=1}^{1000000}[\sqrt{n}] $

[Drago96]

Evvai!

Bonus: se l'altezza totale della torre è espressa da $ \displaystyle\sum _{n=1}^{99} (3^n\cdot\frac{3^{n+3}}{2^{n+2}}) $ a quanto equivale l'altezza di ciascuna scala?

Chiedo un charimento: le scale sono formate tutte dallo stesso numero di gradini; oppure è come la torre di Jack che dall'n-esimo piano ha 1,2...n gradini?

[Hawk]

Facciamo che le scale siano tutte uguali.

[Drago96]

Calcolare la somma di:

$ \displaystyle\sum_{n=1}^{1000000}[\sqrt{n}] $

Direi: $ \displaystyle\sum_{n=1}^{1000000}[\sqrt{n}] = \sum_{n=1}^{1000}n \cdot (2n+1) = 2 \cdot \sum_{n=1}^{1000}n^2 + \sum_{n=1}^{1000}n = 2 \cdot {1000 \cdot 1001 \cdot 2001 \over 6} + {1000 \cdot 1001 \over 2} = 668167500 $

E' possibile che sia un numero così??

[Hawk]

La relazione che hai trovato è corretta.
C'è però un errore già nella seconda uguaglianza, perchè non è valida.
L'intervallo dei valori di n non è da 1 a 1000, ma da 1 a 999.
La relazione che hai trovato non vale per 1000, perchè costituisce solo la radice di 10000000.
L'ho risolto anch'io in questo modo, ma probabilmente esiste un modo ancora più furbo per fare i conti, e chiedo cortesemente a qualcuno più in gamba di me, che l'ha trovato, di postarlo.

[Drago96]

L'intervallo dei valori di n non è da 1 a 1000, ma da 1 a 999.

Direi che hai ragione...

Quindi:
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{1000000}[\sqrt{n}] =1000 + \sum_{n=1}^{999}n \cdot (2n+1) = 1000 + 2 \cdot \sum_{n=1}^{999}n^2 + \sum_{n=1}^{999}n = 1000 + 2 \cdot {1000 \cdot 999 \cdot 1999 \over 6} + {1000 \cdot 999 \over 2} = $

$ \displaystyle= 665668000 + 499500 = 666167500 $

[Hawk]

Adesso è corretto!