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Si teve tassellare un pavimento quadrato di lato $ n $ ma le nostre mattonelle sono a forma di una piccola piramide a scalini formate da tre strisce, una di 5, una di 3 e una di un quadretto in questo ordine una sopra l'altra. Per quali $ n $ è possibile piastrellare?

Un chiarimento:

amatrix92 ha scritto:tre strisce, una di 5, una di 3 e una di un quadretto in questo ordine una sopra l'altra

Questo significa che posso usare o una mattonella di lato 5, oppure una di lato 3, oppure una di lato 1, a mio piacimento?

NO , ne hai una sola a forma di piramide che per spiegarti come è fatta ti dico che sono tra strisce, una 5X1 una 3X1 e una 1X1 una sopra l'altra a formare una piramide di altezza 3 e lato 5 fatta a gradini.

Quindi l'esercizio mi chiede di "incastrarle" e formare un pavimento piatto e senza buchi?

Drago96 ha scritto:Quindi l'esercizio mi chiede di "incastrarle" e formare un pavimento piatto e senza buchi?

già.

(Scusate, ma non so ancora usare Latex)

La piastrellazione è possibile se e solo se n è multiplo di 6.

Detto m il numero di mattonelle utilizzate per la piastrellazione, il quadrato di n deve essere uguale a 9m e quindi n è necessariamente multiplo di 3.
Colorando, inoltre, di bianco e nero come un'usuale scacchiera il pavimento, risulta che ciascun pezzo contiene 6 caselle di un colore e 3 di un altro; pertanto i numeri totali di caselle nere e di caselle bianche sono multipli di 3. Se n è dispari, questi due numeri hanno differenza 1 e non è possibile che la differenza di due multipli di 3 sia 1, dunque n è pari.
Dovendo essere multiplo di 2 e di 3, n è multiplo di 6.
E' altrettanto vero che se n è multiplo di 6 la pavimentazione è possibile, in quanto lo è (si vede facilmente per verifica diretta) per n=6 e pertanto i quadrati di lato n>6 possono essere ottenuti assemblando i quadrati 6x6.