Polinomi da Cortona 00
Polinomi da Cortona 00
Sia $P(x)$ un polnomio a coefficienti interi e sia $x_0$ un intero. Poniamo inoltre $x_1 = P(x_0),$ $x_2 = P(x_1), \dots , x_{n+1} = P(x_n)$, e così via. Supponiamo che $x_d = x_0$ per un qualche numero $d \geq 1$. Si dimostri che $x_2 = x_0$.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Polinomi da Cortona 00
Definisco $a_n = x_n-x_{n-1}$. Poiché si ha che $a_n|a_{n+1}$ visto che $x-y|P(x)-P(y)$, allora si può dire che $a_1|a_2|...|a_d|a_{d+1}=a_1$, poiché $a_{d+1}=x_{d+1}-x_d$ che fa $x_1-x_0$. Dunque $|a_i|$ è fisso per ogni $1\leq i \leq d+1$. Supponiamo che esistano almeno due $a_j$,$a_{j+1}$ che siano discordi. Allora $x_j-x_{j-1}=x_j-x_{j+1}$ per cui $x_{j-1}=x_{j+1}$, da cui $x_{j-1+(d-j+1)} = x_{j+1+(d-j+1)}$ ovvero $x_d=x_{d+2}$ e quindi $x_0 = x_2$.
Se non esistessero due tali numeri, allora gli $a_i$ sarebbero tutti uguali. Ora, essendo tutti uguali, si avrebbe $(d+1)a_1 = \displaystyle\sum_{i=1}^{d+1} a_i = x_{d+1}-x_0 = x_1-x_0 = a_1$. Da ciò si ha necessariamente $a_1=0$, ovvero $x_1=x_0$ e quindi $P(x_0)=x_0$. Ma anche in tal caso vale $x_2=x_0$.
Se non esistessero due tali numeri, allora gli $a_i$ sarebbero tutti uguali. Ora, essendo tutti uguali, si avrebbe $(d+1)a_1 = \displaystyle\sum_{i=1}^{d+1} a_i = x_{d+1}-x_0 = x_1-x_0 = a_1$. Da ciò si ha necessariamente $a_1=0$, ovvero $x_1=x_0$ e quindi $P(x_0)=x_0$. Ma anche in tal caso vale $x_2=x_0$.
"Il bon ton è la grazia del saper vivere, la leggerezza dell' esistere." (Lina Sotis, perfidamente elegante)