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Sia $ ABC $ un triangolo equilatero inscritto in un circonferenza. Si prenda un punto $ P $ sull'arco minore $ AB $. Si mostri che $ PC = PA+ PB $

$ APBC $ è ciclico da cui per tolomeo ho che $ PA \cdot CB+ AC \cdot PB=AB \cdot PC $ tuttavia $ CB=AB=AC $ per ipotesi. dunque sostituisco alla prima equazione e ottendo la tesi

Giusto. Fin troppo facile con tolomeo . Giusto per completezza dovrebbe venire bene anche con i vettori.

Oppure si può fare con la trigonometria.
Chiamando PAC = x, abbiamo PCB = 60 - x e ABP = x.
Usando il teorema della corda, otteniamo
2rsenx + 2rsen(60-x)= 2rsen (60+x)
che porta a
senx = senx