Vecchio cesenatico

[ale.G]

Per ogni numero naturale $n$ si ha $n!=1\cdot2\cdot...\cdot n$ il prodotti di tutti i numeri interi da $1$ a $n$.
Si dimostri che per ogni $n\geq3$ esistono $n$ interi positivi distinti $d_1,d_2,...,d_n$ divisori di $n!$ tali che: $n!=d_1+d_2+...+d_n$.

[ileo83]

si faceva col pigeonhole principle?

[exodd]

Huge Hint!

Testo nascosto:

Induction

[ale.G]

In che modo questo problema può essere ricondotto al pigeonhole principle?

[ghiroz]

Voglio dimostrare che per ogni $ n\geq 3 $ posso scrivere $ n! $ come somma di n termini distinti tutti divisori di n!, in modo tale che tra questi vi siano n-1 ed 1.
Dimostrazione per induzione:
Passo base : n=3
$ 3!=3+2+1 $
Passo induttivo:
Suppongo la tesi vera per n; ora voglio dimostrare che se è vera per n, lo è anche per n+1.
$ (n+1)!=(n+1)n!=(n+1)d_{n}+...+(n+1)(n-1)+n+1 $
Avremo così ottenuto n+1 termini distinti e divisori di (n+1)!

[ale.G]

Passo induttivo:
Suppongo la tesi vera per n; ora voglio dimostrare che se è vera per n, lo è anche per n+1.
$ (n+1)!=(n+1)n!=(n+1)d_{n}+...+(n+1)(n-1)+n+1 $
Avremo così ottenuto n+1 termini distinti e divisori di (n+1)!

Ehm...scusa ghiroz ma quest'ultimo pezzo non l'ho capito...
In che modo ti sei ricavato $(n+1)$ termini distinti e divisori di $(n+1)!$ ?

[paga92aren]

Se per $n$ hai $d_1=1$ e $d_n=n-1$ e $d_i|n!$, con $n+1$ hai $d'_1=1$ (ultimo termine della somma di ghiroz), $d'_{n+1}=n$ (penultimo termine) e per tutti gli altri $d'_i=(n+1)d_i$ (tutti gli altri termini della somma). La somma fa $(n+1)!$, ogni termine divide $(n+1)!$ e sono tutti diversi tra loro.

[ale.G]

Allora credo di aver capito male qualcosa...
se si moltiplica ogni addendo della somma che ci permette di arrivare a $n!$ per $(n+1)$, la somma farà $(n+1)!$, ma in questo caso non sono $n$ termini ?
infatti la somma è $(n+1)n! \rightarrow (n+1)d_1+(n+1)d_2+ \cdots +(n+1)d_n $
dove ho sbagliato