Strano polinomio

[Mist]

Trovare tutti i polinomi $p(x)$ tali che $(x-2^n)p(2x) = (2^nx-2^n)p(x)$

[bĕlcōlŏn]

Suppongo che $n$ sia un numero naturale fisso maggiore di 0.
In tal caso se $x=1$ si ha $(1-2^n)p(2)=0$, da cui essendo certamente $1-2^n \neq 0$ si ha $p(2)=0$. Voglio mostrare che $p(2^k)=0 \quad \forall 1 \leq k \leq n$. Suppongo valga fino a un certo $j$, allora con $x=2^j$ si ha $(2^j-2^n)p(2^{j+1}) = 0$, da cui sicuramente $p(2^{j+1})=0$ fintanto che $2^j-2^n \neq 0$, ovvero fino a $j=n-1$.
Allora esiste un certo $q(x)$ tale che $p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^n (x-2^i)q(x)$. Sostituendo nell'equazione originale si ha
$(x-2^n)\displaystyle\prod_{i=1}^n (2x-2^i)q(2x) = 2^n(x-1)\displaystyle\prod_{i=1}^n (x-2^i)q(x) \quad (1)$. Ma si ha $(x-2^n)\displaystyle\prod_{i=1}^n (2x-2^i)q(2x) = 2^n\displaystyle\prod_{i=0}^{n}(x-2^n)q(2x)$, così come $ 2^n(x-1)\displaystyle\prod_{i=1}^n (x-2^i)q(x) = 2^n\displaystyle\prod_{i=0}^{n} (x-2^n)q(x)$. Allora dall'uguaglianza $(1)$ si ottiene semplificando che $q(2x)=q(x)$. Ma ciò vuol dire che se $q(x)$ ha una radice $r$, allora anche $2r$ è radice e dunque ne ha infinite. Allora $q(x)=k$ per qualche costante $k$. In conclusione, dunque
$p(x)=2^n\cdot k\cdot \displaystyle\prod_{i=1}^{n} (x-2^n)$ per qualche costante $k$.