Raggio incognito, dal perù

[Mist]

Si consideri una circonferenza $\Gamma$ di raggio $R$ e, preso un diametro $AB$, si costruisca una circonferenza $\Gamma _1$ con centro in $AB$, passante per $B$ e con raggio $r$. Sia $C$ l'altro punto che definisce il diametro $CB$ di $\Gamma _1$. SI tracci ora da $C$ la perpendicolare ad $AB$ e si chiami questa retta $r$. Determinare il raggio $x$ della circonferenza tangente a $r$, $\Gamma$ e $\Gamma _1$.

[Karl Zsigmondy]

Sia y il raggio di $ \Gamma_1 $. Se chiamo O il centro di $ \Gamma $, $ O_1 $ il centro di $ \Gamma_1 $ e $ O_x $ il raggio dell'ultima circonferenza, considero il triangolo $ OO_1O_x $. E' chiaro che questo è rettangolo in $ O_1 $ e segue dal fatto che i centri di due circonferenze tangenti sono allineati col punto di tangenza (sulla retta perpendicolare alla tangente in quel punto potremmo dire). L'ipotenusa $ OO_x=R-x $ mentre per i cateti $ O_1O_x=x+y $ e $ OO_1=R-y $. Per il teorema di Pitagora ho che $ (R-x)^2 = (x+y)^2 + (R-y)^2 $ da cui segue che $ x= \frac{Ry-y^2}{R+y} $.