Ben 6 cerchi

[EvaristeG]

Problemino facile facile (ma davvero!):
prendete un quadrilatero $ABCD$ inscritto in una circonferenza $\Gamma$ e considerate quattro circonferenze $\Gamma_1,\ldots, \Gamma_4$ che hanno $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ come corde rispettivamente; ora chiamate $E$ l'intersezione di $\Gamma_4$ e $\Gamma_1$ che non è $A$, $F$ l'intersezione di $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ che non è $B$ e procedete a definire allo stesso modo $G$ e $H$. Allora esiste una circonferenza $\omega$ per $E$, $F$, $G$, $H$.

(lo so, potevo evitare di nominare $\Gamma$ e $\omega$, ma così ci sono 6 circonferenze nel testo!).

Corollario: Le proiezioni di $A$, $C$ su $BD$ e di $B$ e $D$ su $AC$ sono concicliche.

[Karl Zsigmondy]

Utilizzo gli angoli orientati. Si ha che $ FGH = FGC+CGH = (180-CBF)+(180-HDC) = [360-(180+FBC)] + [360-(180+CDH)] = $
$ =[360-(180+FBA+ABC)] + [360 - (CDA+ADH)] = 180-FBA-ABC+180-CDA-ADH. $ Ora per la ciclicità di ABCD si ha che ABC+CDA=180° e quindi $ FGH = 180-FBA-ADH $ . Inoltre si ha che $ HEF = HEA+AEF = (180-ADH) + (180-FBA) = 360 - ADH - FBA $. Dato che FGH+HEF = 180° ho che il quadrilatero EFGH è ciclico.

Corollario: segue se prendo le circonferenze che hanno i lati del quadrilatero ABCD come diametro.

P. S. le uguaglianze quando sono andato per angle-chasing derivano da angoli alla circonferenza, angoli supplementari o angoli esplementari.