Diofantea Semplice (1)

[LeZ]

Trovare tutte le coppie di interi positivi x,y tali che $ x^{2}-y^{3}=30 $

[ale.G]

Per questa scompongo $x^2-y^2$ e avrò che $(x+y)(x-y)=30$. Ora so che 30 può essere scomposto in $30\cdot 1, 15\cdot 2, 10\cdot 3, 6\cdot 5$, dato che $x+y>x-y$ allora $x-y$ può essere uguale solo a 1,2,3 o 5, e $x+y$ solo al corrispondente nella fattorizzazione.
Dopo aver eguagliato tutti i casi, mi accorgo che non ci sono soluzioni intere.

[LeZ]

Stai attento alla consegna, ho scritto $ x^{2}-y^{3} $

[patatone]

scusa ma come accidenti fa a essere semplice una roba che ha per soluzione (83,19) !?
A questo punto sono curioso di sapere come l'hai risolta....

[Drago96]

Sembrerebbe una curva ellittica...
(che io non so usare, naturalmente)

Dunque non una cosa troppo semplice...

[<enigma>]

E' semplice, basta considerare il sottogruppo di torsione della... ooops! Non siamo in MNE!

[LeZ]

Beh in effetti non era molto semplice, ma avendola proposta anche ad altri amici, i quali l'hanno risolta, magari poteva sembrare. Ad ogni modo io lavorando con i moduli, e guardando esclusivamente la natura di y sono giunto alla soluzione in non più di 10 minuti. Il mio problema è dimostrare che non ne esistono altre.
Ad ogni modo si, la soluzione è (83,19)

[Drago96]

Beh in effetti non era molto semplice, ma avendola proposta anche ad altri amici, i quali l'hanno risolta, magari poteva sembrare. Ad ogni modo io lavorando con i moduli, e guardando esclusivamente la natura di y sono giunto alla soluzione in non più di 10 minuti. Il mio problema è dimostrare che non ne esistono altre.
Ad ogni modo si, la soluzione è (83,19)

Cosa hai fatto con i moduli?
Io sono arrivato a $y\equiv 3\pmod 8$ , poi quando ho visto che stava diventando un po' troppo tosta, ho mollato...

Quindi non hai ancora dimostrato che è l'unica?

[<enigma>]

Beh in effetti non era molto semplice, ma avendola proposta anche ad altri amici, i quali l'hanno risolta, magari poteva sembrare. Ad ogni modo io lavorando con i moduli, e guardando esclusivamente la natura di y sono giunto alla soluzione in non più di 10 minuti. Il mio problema è dimostrare che non ne esistono altre.
Ad ogni modo si, la soluzione è (83,19)

La semplicità di una parte del problema non mi pare possa qualificarlo come semplice -.-
Già che è banale trovarne una soluzione, ma dimostrarne l'unicità è un altro paio di maniche

[LeZ]

Ti spiego come lavoro, ora non voglio rifarla, perchè è abbastanza brutta dato che l'ho inventata. Scrivo su una riga da 1 a per esempio 50 i valori che può assumere l'incognita con esponente maggiore, e man mano che escludo le possibilità con moduli elimino questi numeretti. Sono rimasto solo col 19 che guarda a caso è soluzione. In genere lavoro con fino a modulo 17 max 19 perchè a casa mi sono fatto una tabella con excel con dei residui quadratici. Se mi capitasse in gara, lavoro non oltre modulo 11 max 13. Ovviamente se riesco a trovare, dato che non sempre accade, una parità ecc.. escludo direttamente senza scrivere codesti valori nella riga di numeretti. Cosi mi trovo bene personalmente.

L'ho postato qua affinchè qualcuno di voi genietti mi illuminasse sul fatto che sia o non sia unica soluzione e come dimostrarlo

[Drago96]

Che conti!
Di solito nelle diofantee postate qua e che si trovano in gara andare oltre modulo 8 è molto difficile (dalla mia poca esperienza)

[LeZ]

Su questo hai assolutamente ragione, in genere nelle gare addirittura basta che guarda uno solo di modulo e risolvi il problema.
Adesso per l'esattezza non ricordo questa specificamente fino a che modulo è stato analizzato, provate se volete

[EvaristeG]

$(83,19)$ è effettivamente l'unica soluzione (a meno di cambiar segno), ma non mi sembra ci sia altro metodo se non usare tecniche abbastanza poco olimpiche (il gruppo sui razionali ha rango 1 e non ha torsione...). Quindi direi che è un grosso esercizio per excel e non molto di più.
Certo, se qualcuno trova l'unicità con tecniche elementari, ben venga!

@LeZ: Detto ciò, catalogare come Diofantea Semplice un problema che NON hai risolto, non è molto onesto...

[LeZ]

Attento evariste io non ho scritto dimostrare. Io ho risolto una parte del problema, che tra l'altro è tutta con questo testo ovvero determinare.

[EvaristeG]

Ora, non prendiamoci in giro ... hai scritto "Trovare tutte le coppie di interi positivi". Come fai a dire di aver risolto la consegna se hai trovato UNA soluzione provando casi per $y\leq50$?? Se vuoi trovare TUTTE le coppie, evidentemente ne devi trovare fino a che puoi e dopo dimostrare che non ce ne sono altre. Quindi, per favore, la prossima volta magari specifica che tu non hai la soluzione dell'esercizio... (e sappi che c'è un numero sotto cui cercare le soluzioni, per questo tipo di equazioni, ma qui è una cosa dell'ordine di 10^{10^6} o qualcosa di simile).