Disuguaglianza tra reali

[floppino81892]

Dimostrare che, presi due numeri reali $ a $ e $ b $ , si ha sempre:

$ a^4+b^4 \geq a^3b $

che approccio si usa in questi esercizi io forse l'ho risolto ma ci ho messo parecchio tempo e non credo sia tutto corretto, qual è il metodo che usereste ?

[Karl Zsigmondy]

E' chiaro che il LHS non cambia se a,b sono positivi o negativi, mentre il RHS è massimo per a,b entrambi positivi o entrambi negativi... in tal caso posso assumere WLOG che siano entrambi positivi (se sono entrambi negativi l'espressione non cambia al RHS). Applico quindi AM-GM alla quaterna $ ( \frac{a^4}{3} , \frac{a^4}{3} , \frac{a^4}{3} , b^4 ) $ e ottengo che $ a^4 + b^4 \geq 4a^3b \geq a^3b $.

[floppino81892]

solo una cosa:

non sarebbe dovuto essere

$ a^4 + b^4 \geq \frac{4}{\sqrt[4]{27}}a^3b \geq a^3b $

so che alla fine è uguale ma è giusto per essere sicuro di aver capito

[Karl Zsigmondy]

Volevo vedere se eri attento .

[ale.G]

Scusate ma da dove viene $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}$?

[max tre]

Io a suo tempo trovai questa:
$ a^4+b^4-a^3b\geq 0 $
Se a e b sono discordi è banale
Se a e b sono concordi allora sottraggo a sinistra e a destra $ ab^3 $ e raccolgo
$ a^3(a-b)+b^3(b-a)\geq -ab^3 $
$ (a-b)(a^3-b^3)\geq -ab^3 $
da cui posso concludendere o direttamente (dicendo che $ (a-b) $ e $ (a^3-b^3) $ sono concordi e $ -ab^3 $ è negativo) o scomponendo ancora in $ (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq -ab^3 $ e notando che a sinistra ho un quadrato e un falso quadrato (sempre positivo) e a destra una quantità negativa

[max tre]

Scusate ma da dove viene $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}$?

se non te lo mettono davanti non so come ti possa venire in mente
certo che una volta trovato viene immediatamente per AM-GM, ma onestamente non so come possa venire in mente un coefficiente del genere
altrimenti c'è la vecchia soluzione in cui dividi i casi $ a>b $ e $ b>a $

[Karl Zsigmondy]

Scusate ma da dove viene $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}$?

se non te lo mettono davanti non so come ti possa venire in mente
certo che una volta trovato viene immediatamente per AM-GM, ma onestamente non so come possa venire in mente un coefficiente del genere
altrimenti c'è la vecchia soluzione in cui dividi i casi $ a>b $ e $ b>a $

Non è che viene in mente il coefficiente, viene in mente di provare ad applicare AM-GM, infatti da una parte hai una somma, dall'altra un prodotto, e poi i termini sono anche semplici per così dire, quindi si prova e si vede che viene una disuguaglianza più larga.

[ale.G]

Ma i calcoli nello specifico quali sono stati? A me viene diverso ma penso di aver sbagliato io...

[max tre]

Non è che viene in mente il coefficiente, viene in mente di provare ad applicare AM-GM, infatti da una parte hai una somma, dall'altra un prodotto, e poi i termini sono anche semplici per così dire, quindi si prova e si vede che viene una disuguaglianza più larga.

si si mi sono espresso male
sarà che avevo poca familiarità con am-gm, ma diciamo che non fu la prima (e neanche la seconda) cosa che mi passò per la testa

[EvaristeG]

Parti guardando gli esponenti che hai e quelli che vuoi ottenere:
$a^4+b^4$ contro $a^3b$
Poi ricordati l'AM-GM: $\displaystyle{\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}}$

Adesso, a sinistra vuoi sempre far somme, quindi gli esponenti non possono cambiare ... al più puoi spezzare $a^4$ in cose come $a^4/2+a^4/3+a^4/6$ e così via.

A destra vuoi avere un $1$ come esponente per la $b$ e un $3$ come esponente per la $a$. Quindi (e nota che $1+3\leq 4$, altrimenti non viene nulla) una cosa come $(a^4a^4a^4b^4)^{1/4}$ andrebbe bene ... questo vuol dire che a sinistra deve esserci la somma di $4$ termini, 3 con la $a^4$ e 1 con la $b^4$. Quindi
$$\left(\frac{a^4}{3}+\frac{a^4}{3}+\frac{a^4}{3}+b^4\right)\frac14\geq\displaystyle{\sqrt[4]{\displaystyle{\frac{a^{12}}{27}b^4}}}$$
ovvero
$$a^4+b^4\geq \frac{4}{3^{3/4}}a^3b$$

Chiaro?

[ale.G]

Ah mi mancava il fratto 4 nella parte di sinistra, ora è chiarissimo

[fph]

Quindi (e nota che $1+3\leq 4$, altrimenti non viene nulla)

Piccolo dettaglio: in realtà serve $1+3=4$, altrimenti non viene nulla.
Piccolo esercizio per voi: dimostrare che se in una disuguaglianza polinomiale tutti i termini da un lato hanno grado (complessivo) $d_1$ e tutti i termini dall'altro hanno grado $d_2\neq d_1$, allora non può valere per tutti i reali.