$$\sum_{j=1}^{n-r+1}j\binom{n-j}{r-1} = \binom{n+1}{r+1}$$
Fucilatelo pure
Risolvendo antichi combinatorici
Risolvendo antichi combinatorici
risolvendo un Imo del 1981, m'è capitato di dover dimostrare:
$$\sum_{j=1}^{n-r+1}j\binom{n-j}{r-1} = \binom{n+1}{r+1}$$
Fucilatelo pure
$$\sum_{j=1}^{n-r+1}j\binom{n-j}{r-1} = \binom{n+1}{r+1}$$
Fucilatelo pure
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Risolvendo antichi combinatorici
Contaccio:
$$\displaystyle \sum_{j=1}^{n-r+1} j{n-j\choose {r-1}}=\sum_{j=1}^{n-r+1}\sum_{i=j}^{n-r+1}{{n-i}\choose {r-1}}=\sum_{j=1}^{n-r+1}{{n-j+1}\choose r}={{n+1}\choose {r+1}}$$
Dove la prima uguaglianza è perchè a destra ogni binomiale viene contato esattamente j volte (per $i=1\dots j$ appunto) mentre le altre due sono per la solita identità della somma sulle diagonali in Tartaglia che si dimostra ad esempio per induzione su n.
$$\displaystyle \sum_{j=1}^{n-r+1} j{n-j\choose {r-1}}=\sum_{j=1}^{n-r+1}\sum_{i=j}^{n-r+1}{{n-i}\choose {r-1}}=\sum_{j=1}^{n-r+1}{{n-j+1}\choose r}={{n+1}\choose {r+1}}$$
Dove la prima uguaglianza è perchè a destra ogni binomiale viene contato esattamente j volte (per $i=1\dots j$ appunto) mentre le altre due sono per la solita identità della somma sulle diagonali in Tartaglia che si dimostra ad esempio per induzione su n.
Re: Risolvendo antichi combinatorici
perfetto
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102