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risolvendo un Imo del 1981, m'è capitato di dover dimostrare:

$$\sum_{j=1}^{n-r+1}j\binom{n-j}{r-1} = \binom{n+1}{r+1}$$

Fucilatelo pure

Contaccio:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{n-r+1} j{n-j\choose {r-1}}=\sum_{j=1}^{n-r+1}\sum_{i=j}^{n-r+1}{{n-i}\choose {r-1}}=\sum_{j=1}^{n-r+1}{{n-j+1}\choose r}={{n+1}\choose {r+1}}$$

Dove la prima uguaglianza è perchè a destra ogni binomiale viene contato esattamente j volte (per $i=1\dots j$ appunto) mentre le altre due sono per la solita identità della somma sulle diagonali in Tartaglia che si dimostra ad esempio per induzione su n.

perfetto