Disuguaglianza su un triangolo

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mist
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Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
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Disuguaglianza su un triangolo

Messaggio da Mist »

Siano $a,b,c$ i lati di un triangolo. Dimostrare che

$$\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$$
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Arthur
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Iscritto il: 18 lug 2011, 13:03

Re: Disuguaglianza su un triangolo

Messaggio da Arthur »

Provo a risolverla io...
Pongo $ b+c-a=x $, $ c+a-b=y $ e $ a+b-c=z $ e riscrivo la disuguaglianza come $ \displaystyle \frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3 $ svolgendo un po' di conti ottengo $ \displaystyle\frac{xy^2+yx^2+yz^2+zy^2+xz^2+zx^2}{6}\geq xyz $ che è vera per AM-GM.
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