Double counting sul fattoriale

[Tess]

Dimostrare che
$ n!=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{n+i}\displaystyle\binom{n}{i}i^n. $
Magari si fa anche in un altro modo.
Magari è 'na cosa stranota
(Beh, non aspettatevi tanto da un'ora di fisica scolastica noiosa e contosa!)

[Tess]

Visto che nessuno non ha ancora detto niente, fornisco un primo aiuto.
Prendiamo un polinomio di grado $ n $ in $ n $ variabili (quale?), e calcoliamo il coefficiente di un certo monomio...

[Tess]

Beh, prendendo il polinomio $ (x_1+x_2+\dots+x_n)^n $
possiamo calcolare il coefficiente del termine $ x_1x_2\dots x_n $ in un paio di modi. Uno con le combinazioni, l'altro notando che è l'unico ad annullarsi con l'annullarsi di qualsiasi variabile $ x_i $.

[patatone]

non ho ben capito cosa intendi, ma la soluzione che è venuta in mente a me è che quelli sono 2 modi diversi di contare le funzioni bigettive da un insieme di n elementi a un altro di n elementi...

[Hawk]

Sviluppo l'idea di Patatone.
Allora: definisco $ |A|=a $ e $ |B|=b $.
Dando per noto che la cardinalità dell'insieme delle funzioni surgettive $ f:\mathbb{A}\longrightarrow \mathbb{B} $ è data da: $ \displaystyle\sum_{i=0}^{b}(-1)^i \displaystyle\binom {b}{i} (b-i)^a $, mentre la cardinalità dell'insieme delle funzioni iniettive è $ f:\mathbb{A}\longrightarrow \mathbb{B} $ è data da $ \displaystyle\binom {b}{a}a! $.
Ponendo il caso che $ a=b $, abbiamo allora: $ \displaystyle\sum_{i=0}^{b}(-1)^i \displaystyle\binom {b}{i} (b-i)^b=b! $.
Passiamo alla tesi del problema: dobbiamo dimostrare questo: $ \displaystyle\sum_{i=0}^{b}(-1)^i \displaystyle\binom {b}{i} (b-i)^b= \displaystyle\sum_{j=0}^{b}(-1)^{b+j}\displaystyle\binom{b}{j}j^b=b! $.
L'uguaglianza si verifica quando $ j=b-i $.