OliForum Matematico

Risolvere $2^n=p+3^p$ con $n$ naturale e $p$ primo.

Cosa indica il P sul tre?

Sì scusa p minuscolo.

Mi sono perso qualcosa, o per n abbastanza grande, basta anche solo che p sia congruo a 5 modulo 8?

ngshya ha scritto:Mi sono perso qualcosa, o per n abbastanza grande, basta anche solo che p sia congruo a 5 modulo 8?

Certo. Ragionando per moduli trovi man mano che $p \equiv 1 \pmod 4$, $p \equiv 5 \pmod 8$, eccetera. Questa condizione però è necessaria, non sufficiente...

Em... avevo una mezza idea di voler dimostrare che quel $ p+3^p $ da un certo punto in poi sia sempre compreso fra due potenze di 2 consecutive. Ma non ho ancora scritto niente... e quindi non saprei.

$2^n\equiv 3\pmod p$ serve a poco, vero?

Cancello tutto che è sbagliatissimo.

Hawk ha scritto:$ \begin{cases} p\equiv 1 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ giocandoci un po' si vede subito che non ha soluzione per nessun primo p

$p=13$

Hawk ha scritto:
$ \begin{cases} p\equiv 2 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ perciò deduco per il teorema cinese del resto $ p=12k-3 $ che non è primo (qui c'è qualcosa che non mi quadra)

$p=5$

Non capisco tutti quei casini prima di arrivare al sistema di congruenze...

Hawk ha scritto:$ \begin{cases} p\equiv 1 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ giocandoci un po' si vede subito che non ha soluzione per nessun primo p.

$p=13$ .

Hawk ha scritto:$ \begin{cases} p\equiv 2 \pmod{3} \\ p\equiv 1 \pmod{4}\end{cases} $ [...] $ p=12k-3 $ che non è primo (qui c'è qualcosa che non mi quadra

Infatti quel sistema ha soluzione $p=12k+5$

Appena ho un po' di tempo edito gli errori e completo la dimostrazione.

Ah per la cronaca non me la sono inventata, sta in una dispensa che gira su mathlinks già da un po'

Cancellato il post sbagliato di prima. Ecco la mia soluzione che spero sia corretta.
$ 2^n=3^p+p $, una soluzione è $ (n,p)=(2,1) $. Supponiamo da ora $ p>2 $ primo.
$ p $ primo $ \Rightarrow $ $ p $ dispari $ \Rightarrow p=2a_1+1 $ con $ a_1 \in \mathbb N $.
Anche $ 3^p $ è dispari $ \Rightarrow 3^p=2b_1+1 $ con $ b_1 \in \mathbb N $.
$ 2^n=3^p+p \Rightarrow 2^n= 2b_i+1+2a_1+1=2(b_1+a_1+1) \Rightarrow 2^{n-1}=b_1+a_1 +1 $.
1) Adesso se $ a_1 $ e $ b_1 $ sono entrambi pari $ \Rightarrow 2k_1+2m_1+1=2^{n-1} $ che è impossibile.
2) Suppongo $ a_1 $ e $ b_1 $ entrambi dispari $ \Rightarrow 2t_1+1+2l_1+1+1=2^{n-1} $ che è ugualmente impossibile.
3) L'equazione è simmetrica nelle variabili $ a_1 $ e $ b_1 $, suppongo quindi $ a_1 $ dispari e $ b_1 $ pari. $ 2^{n-1}=2a_2 + 2b_2 +2=a_2+b_2+1 \Rightarrow 2^{n-2}=a_2+b_2+1 $.
Iterando su $ a_n $ e $ b_n \Rightarrow 2^{n-n}=a_n+b_n+1 \Rightarrow a_n+b_n=0 $ ma siccome $ (a_n,b_n) \in \mathbb N^2 \Rightarrow a_n=b_n=0 $ da cui deduco $ p=1 $. L'equazione non ammette soluzioni a meno che si consideri 1 numero primo.

Hawk ha scritto:$ a_n=b_n=0 $ da cui deduco $ p=0 $

Peraltro hai dimostrato che una potenza di 3 non si può scrivere come somma di due numeri dispari

La soluzione quindi è corretta? Mi chiedevo se c'era una soluzione che sfruttava le congruenze...
Comunque qual è la dispensa?