Radici da massimizzare e minimizzare

[razorbeard]

Sapendo che $a+b+c=1$ trovare massimo e minimo di $\sqrt a+ \sqrt b + \sqrt c$

[jordan]

Mi pare che la funzione da ottimizzare non e' manco definita se una o più variabili e' negativa..

[Hawk]

Bé se c'è la radice quadrata, vuol dire che si suppone $ a\geq0 $, $ b\geq 0 $, $ c\geq 0 $.

[karlsson_sul_tetto]

Testo nascosto:

Dimostro per induzione (o almeno credo sia per induzione)
Poiche la radice di un numero $ 0<a<1 $ sarà maggiore del numero, si possono fare varie conclusioni
Quando $ a=1, b=c=0 $ , si vede che il risultato è il minimo perchè non c'è nessun numero compreso tra 1 e 0.
Quando $ a=b=c= \frac{1}{3} $, sia il massimo cio[ qualcosa poco più grande di 1,6
Questi sono le due cime della funzione perchè in un caso sono tutte ugualila differenza è minima(0), mentre nell'altro è massima (1)

[Hawk]

Sto da poco studiando le disuguaglianze quindi c'è il rischio altissimo di dire cavolate. Provo a trovare il massimo.
Per la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica ho $ \displaystyle\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{3}\leq \sqrt{\displaystyle\frac{a+b+c}{3}} $ cioè $ \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \leq 3\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}}=\sqrt3 $, quindi il massimo valore se quello che scrivo è giusto deve essere $ \sqrt3 $.

[NoAnni]

Sto da poco studiando le disuguaglianze quindi c'è il rischio altissimo di dire cavolate. Provo a trovare il massimo.
Per la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica ho $ \displaystyle\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{3}\leq \sqrt{\displaystyle\frac{a+b+c}{3}} $ cioè $ \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \leq 3\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}}=\sqrt3 $, quindi il massimo valore se quello che scrivo è giusto deve essere $ \sqrt3 $.

E' giusto
Che ne dici di risolverlo anche con Cauchy-Schwarz per esercizio?

[Hawk]

Ti ringrazio !
Allora le triple su cui applico la disuguaglianza sono $ (\sqrt a, \sqrt b. \sqrt c,);(1,1,1) $.
Quindi per Cauchy-Schwarz ottengo $ (\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)^2 \leq 3 $ quindi per massimizzare $ \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c= \sqrt3 $.
Va bene anche questa?

[Omar93]

Potresti anche usar riarrangiamento,dato che puoi dire a maggiore o uguale a b ecc....

[Tess]

Ormai che ci siamo, diciamo di usare anche Jensen!
Ma quello che non pare sia stato dimostrato bene è il minimo...

[karlsson_sul_tetto]

Ma quello che non pare sia stato dimostrato bene è il minimo...

(Dovrei modificare il mio post ma vabbè)
Presupponiamo che ci siano almeno due numeri compresi tra 1 e 0. La loro radice sarà più grande di loro, quindi se la somma è 1, la somma delle radici sarà maggiore di 1. Invece nel caso che a=1 e b=c=0 si ha che la somma sia esattamente 1.
Mi pare che vada bene

[razorbeard]

Ne piazzo allora uno molto simile...trovare il massimo e il minimo di $\sqrt {a^3}+ \sqrt {b^3} +\sqrt {c^3}$

[jordan]

Per ogni $0<p<1<q$ reali e $a_1,\ldots,a_n$ non negativi a somma unitaria vale:

$\displaystyle n^{1-q}= n\left(\frac{1}{n}\sum_{1\le i\le n}{a_i} \right)^q \le \sum_{1\le i\le n}{a_i^q} \le \sum_{1\le i\le n}{a_i}=$$\displaystyle 1=\sum_{1\le i\le n}{a_i} \le \sum_{1\le i\le n}{a_i^p} \le n\left(\frac{1}{n}\sum_{1\le i\le n}{a_i} \right)^p=n^{1-p}$