Niente soluzioni

[razorbeard]

Dimostrare che se $n$ è un intero maggiore di 1 e diverso da 3 non esistono coppie $(x; k)$ di interi
positivi che soddisfano l'equazione:
$\displaystyle 3^k-1=x^n$

[Omar93]

Tralasciando il metodo senza congruenze(mi vegono solo casi impossibili),se io facessi l'eq. mod 3 mi viene :
$ x^n congruo a -1 mod3 $ che è impossibile giusto?

[razorbeard]

Beh, non credo...abbiamo per esempio che $2^5 \equiv -1$ mod3, in generale, basta prendere un $x \equiv -1$ mod3 ed elevarlo ad un esponente dispari.

[kalu]

$ x^n $, essendo congruo a -1 in modulo 3, non può essere un quadrato, quindi $ n $ è dispari.
Sia $ p $ un divisore primo di $ n $.

$ \displaystyle \left(x^{\frac{n}{p}}+1\right)\left(\frac{x^n+1}{x^{\frac{n}{p}}+1}\right)=3^k $.

Chiaramente $ \displaystyle \left(x^{\frac{n}{p}}+1\right) $ e $ \displaystyle \left(\frac{x^n+1}{x^{\frac{n}{p}}+1}\right) $ Sono entrambi multipli di 3. Per il lemma LTE $ \displaystyle v_3\left(\frac{x^n+1}{x^{\frac{n}{p}}+1}\right)=v_3(p)>0 $, da cui capiamo due cose:

$ p=3 $, quindi $ n $ è una potenza di 3 (scriviamo $ n=3^{\alpha} $)

$ \displaystyle \left(\frac{x^n+1}{x^{\frac{n}{p}}+1}\right)=\left(\frac{x^{3^{\alpha}}+1}{x^{3^{\alpha-1}}+1}\right)=3 $

Lavorando sull'equazione $ x^{3^{\alpha}}+1=3x^{3^{\alpha-1}}+3 $ si trova abbastanza facilmente che $ \alpha $ deve valere 1 (e che $ x=2 $).

[Mist]

$ \displaystyle (\frac{x^n+1}{x^{\frac{n}{p}}+1})=(\frac{x^{3^{\alpha}}+1}{x^{3^{\alpha-1}}+1})=3 $

Scusami, forse mi perdo io qualcosa di ovvio, ma non dovrebbe essere $ \displaystyle (\frac{x^n+1}{x^{\frac{n}{p}}+1})=(\frac{x^{3^{\alpha}}+1}{x^{3^{\alpha-1}}+1})=3^j $ ?

[kalu]

Scusami, forse mi perdo io qualcosa di ovvio, ma non dovrebbe essere $ \displaystyle (\frac{x^n+1}{x^{\frac{n}{p}}+1})=(\frac{x^{3^{\alpha}}+1}{x^{3^{\alpha-1}}+1})=3^x $ ?

Per LTE $ \displaystyle v_3(\frac{x^{3^{\alpha}}+1}{x^{3^{\alpha-1}}+1})=v_3(3) $, quindi $ \displaystyle (\frac{x^{3^{\alpha}}+1}{x^{3^{\alpha-1}}+1})=3 $.

[jordan]

Dimostrare che se $n$ è un intero maggiore di 1 e diverso da 3 non esistono coppie $(x; k)$ di interi positivi che soddisfano l'equazione: $\displaystyle 3^k-1=x^n$

Se $2|n$ allora l'equazione e' impossibile in $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Se una soluzione esiste, allora $n\ge 5$.
Quindi $k=\upsilon_3(3^k)=\upsilon_3(x^n+1)=\upsilon_3(x+1)+\upsilon_3(n) \le \ln_3(n(x+1))$. Ma e' vero anche che per ogni $x\ge 2$ vale: $n(x+1)<x^n+1=3^k\le n(x+1)$, assurdo. []

[matty96]

Io senza LTE ho fatto cosi: Noto mod3 che $x\equiv -1$ e n è dispari. Allora $3^k=x^n+1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...+1)$ Ora poichè $f(x)=(x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-...+1)\mid 3^k$ si ha che $f(x) \equiv 1-(-1)+1-...+1 \equiv n \equiv 0 \pmod 3$ quindi $n=3h$ . Ora abbiamo che $3^k=(x^h+1)(x^{2h}-x^h+1)$. Quindi $x^h+1=3^a$ e $x^{2h}-x^h+1=3^b$ dove a+b=k. Mettendo a sistema si nota subito che b deve essere 1 e poi si fa qualche considerazione sui due fattori (si guarda il maggiore e il minore) e si trova che le soluzioni sono quelle già citate.

P.S. questa non vuole essere una soluzione ma giusto l'idea seguita senza usare quel lemma