Algebra lineare

acarus · Messaggio da **acarus** » 01 gen 1970, 01:33

Ho ritrovato dopo qualche anno il mio esame di geometria. Non l\'avevo risolto completamente: eccolo. (Spero si veda).
 
 Sia φ l\'endomorfismo dello spazio vettoriale reale R3 la cui matrice rispetto alla base canonica {e1, e2, e3} di R3, è:
 -1 1 2
 M= 3 3 4
 2 1 1
 
 1° Determinare la matrice M\' dell\'endomorfismo φ rispetto alla base
 {f1 = (1, 1, -1), f2 = (1, 0, 1), f3 = (1, 1, 0)}.
 
 2° Determinare i sottospazi ker(φ) e im(φ) di R3.
 
 3° Determinare gli insiemi di vettori φ^(-1)[(0, 1, 2)] e φ^(-1)[(1, 5, 2)].
 
 4° Determinare gli autovalori e gli autospazi dell\'endomorfismo φ.
 
 5° Mostrare che la matrice M è diagonalizzabile e determinare la matrice di passaggio.
 
 Buon lavoro!

[ Questo Messaggio è stato Modificato da: acarus il 11-09-2003 19:57 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: acarus il 11-09-2003 19:58 ]

W29 · Messaggio da **W29** » 01 gen 1970, 01:33

l\'endomorfismo è tipo l\'endovena?

acarus · Messaggio da **acarus** » 01 gen 1970, 01:33

Noooooo! Molto peggio!!!
 
 Detti E ed F due spazi vettoriali definiti sullo stesso corpo commutativo K, un\'applicazione f : E -> F che soddisfa le due condizioni
 
 1) per qualsiasi v, v\' appartenenti ad E, si ha: f(v+v\') = f(v) + f(v\');
 2) per qualsiasi v appartenenti ad E, per qualsiasi h appartenente a K, si ha: f(hv) = h f(v);
 
 f, dicevo, è detta OMOMORFISMO di E in F. Ora, un omomorfismo di E in se stesso, è detto ENDOMORFISMO (dello spazio vettoriale E).
 
 Lo dicevo che era peggio...[addsig]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

oddio...vade retro!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 ho letto qlcs di algebra lineare tempo fa (compresi gli argomenti del tuo esame) e, come dire, mi è sembrata roba un tantino...meccanica...
 del tipo \"spaginate di calcoli e bona\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

Catraga · Messaggio da **Catraga** » 01 gen 1970, 01:33

La base canonica che intendi è {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}?
 Per autovalori di f intendi gli scalari a tali che f(v)=af(v)?
 Perchè non dici operatore lineare nel campo di R3 al posto di endomorfismo in R3?
 Come insieme scalare quale spettro di valori assumi? Reali? Naturali? Spazio Z?
 
 La soluzione la invio stasera, se il server mi funziona... è un po\' di giorni che fa le bizze...
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Catraga · Messaggio da **Catraga** » 01 gen 1970, 01:33

Allora, siccome nn ho voglia di fare di conto, ti dico il metodo:
 F(x):RxRxR->RxRxR
 F(x+y)=F(x)+F(y)
 F(kx)=kF(x) con k is a K subset of R
 x* è vettore trasposto
 F(x)=M(e)x*
 M\' è matrice inversa di M
 M(e)=AM(Can)
 A=M(e)M\'(Can)
 F(x)=AM(Can)x*
 Ker(F)=(0,0,0)
 f(F(x))=F(f(x))=x
 f(x)= M\'(e)x*
 M(e) è diagonalizzabile, una matrice di passaggio è M\'
 Autovalori F(x)=M(e)x*=x

acarus · Messaggio da **acarus** » 01 gen 1970, 01:33

si la base è la solita: ortonormale destra
 
 
 Lo chiamo endomorfismo perchè al tempo in cui imparai le cose, i libri da cui studiai usavano questo tipo di linguaggio. In secondo luogo, come si destinguerebbe un omomorfismo (applicazione lineare di E in F) dai vari endomorfismo, automorfismo, epimorfismo e monomorfismo?
 
 non mi ricordo che altro mi chiedevi.