x^n+y^n=z^n
<BR>x,y,z reali positivi diversi da zero
<BR>n intero positivo
<BR>
<BR>Se
<BR>x^n+y^n=z^n
<BR>allora
<BR>x^(n-1)+y^(n-1) >= z^(n-1)
<BR>
<BR>Dimostratelo!
<BR>
<BR>(Wow, l\'ho dovuto modificare 2 volte, al msg nn andava giù la visualizzazione di z^(n-1)!!)
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 12-09-2003 16:46 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 12-09-2003 16:48 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 13-09-2003 08:48 ]
La congettura sulla congettura di Fermat
Moderatore: tutor
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massiminozippy
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Perchè dovrebbe trattarsi di una congettura?????
<BR>E poi quella di Fermat non credo sia più una congettura; se non sbaglio è stata dimostrata nel 1994 da Wiles, e ultimamente con metodi euleriani dal nostro Ossicini. Anche se fonti attendibili dicono che la dimostrazione di Ossicini contenga una falla.
<BR>E poi quella di Fermat non credo sia più una congettura; se non sbaglio è stata dimostrata nel 1994 da Wiles, e ultimamente con metodi euleriani dal nostro Ossicini. Anche se fonti attendibili dicono che la dimostrazione di Ossicini contenga una falla.
ehm... che dire?
<BR>
<BR>Pure io avrei dimostrato la congettura se fosse stata sui reali. Comunque capisco che il titolo ha soo il fine di rendere il post più appetibile (forse qualcuno non se ne accorge), quindi tiriamo dritto.
<BR>
<BR>Sì, forse è un po\' più grave scrivere male il verso della diseguaglianza nel testo. x^(n-1)+y^(n-1) >= z^(n-1). E\' così.
<BR>
<BR>Ora, vorrei fare un appello (fallimentare in partenza, forse): non è che a uno di quei tanti che si impegnano nelle gare di post viene la voglia di risolvere un problema? Magari allo stesso primo classificato? O a quello che ha stilato la classifica? Vi siete accorti della parola \"matematica\" che segue \"Progetto Olimpiadi della\"?
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 12-09-2003 17:21 ]
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<BR>Pure io avrei dimostrato la congettura se fosse stata sui reali. Comunque capisco che il titolo ha soo il fine di rendere il post più appetibile (forse qualcuno non se ne accorge), quindi tiriamo dritto.
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<BR>Sì, forse è un po\' più grave scrivere male il verso della diseguaglianza nel testo. x^(n-1)+y^(n-1) >= z^(n-1). E\' così.
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<BR>Ora, vorrei fare un appello (fallimentare in partenza, forse): non è che a uno di quei tanti che si impegnano nelle gare di post viene la voglia di risolvere un problema? Magari allo stesso primo classificato? O a quello che ha stilato la classifica? Vi siete accorti della parola \"matematica\" che segue \"Progetto Olimpiadi della\"?
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 12-09-2003 17:21 ]
x^n+y^n=z^n
<BR>
<BR>grazie a Fermat (o meglio a wiles) questo può essere vero solo per n=1Vn=2
<BR>a questo punto, dimostrare che è
<BR>
<BR>x^(n-1)+y^(n-1)>=z^(n-1)
<BR>
<BR>mi sembra ovvio per n=1 (si riduce a 2>=1) e per n=2 basta considerare un triangolo rettangolo di cateti x e y dove è sicuramente x+y>=z
<BR>
<BR>grazie a Fermat (o meglio a wiles) questo può essere vero solo per n=1Vn=2
<BR>a questo punto, dimostrare che è
<BR>
<BR>x^(n-1)+y^(n-1)>=z^(n-1)
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<BR>mi sembra ovvio per n=1 (si riduce a 2>=1) e per n=2 basta considerare un triangolo rettangolo di cateti x e y dove è sicuramente x+y>=z
"Signore, (a+b^n)/n=x, dunque Dio esiste!" (L.Euler)
-
Ospite
>Ora, vorrei fare un appello (fallimentare in partenza, forse): non è che a >uno di quei tanti che si impegnano nelle gare di post viene la voglia di >risolvere un problema? Magari allo stesso primo classificato? O a quello che >ha stilato la classifica? Vi siete accorti della parola \"matematica\" che >segue \"Progetto Olimpiadi della\"?
<BR>
<BR>Non posso che essere d\'accordo...
<BR>
<BR>... e ossicini è un cretino.
<BR>
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<BR>Non posso che essere d\'accordo...
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<BR>... e ossicini è un cretino.
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ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?
Provo a rispondere.
<BR>y^(z-1)=y^z/z=x^n+y^n/rad_n(x^n+y^n)=rad_n [(x^n+y^n)^n-1]
<BR>Il tutto quindi divente
<BR>x^(n-1)+y^(n-1) >= rad_n [(x^n+y^n)^n-1]
<BR>elevando alla n:
<BR>[x^(n-1)+y^(n-1)]^n>=(x^n+y^n)^n-1
<BR>Non uccidetemi ma non ho molta voglia (nè capacità credo) per formalizzare questa soluzione. Usando il teorema del binomio si sviluppano le due potenze. Notiamo che la prima potenza possiede un termine in più della seconda. Si prendano 2 termini qualsiasi equidistanti dagli estremi nel primo sviluppo e 2 termini qualsiasi equidistanti dagli estremi nel secondo sviluppo (se si deve prendere lo stesso termine nella prima potenza, bene, non esistono numeri di questo tipo nella seconda; se si deve prendere lo stesso termine nella seconda potenza, questo deve essere un numero pari, lo si scinda in 2 numeri uguali). Si studino quindi + disequazioni, dimostrando che la somma dei 2 termini del primo sviluppo è sempre maggiore della somma dei 2 termini del secondo sviluppo. Raccogliendo di volta in volta un determinato multiplo x^k*y^k, ci si riduce ad espressioni del tipo (x^n+y^n)>=x^(n-1)*y+y^(n-1)*x ...sempre vera per la disequazione di riarrangiamento..
<BR>
<BR>Si può formalizzare il tutto studiando i generici termini, ma è la prima volta che applico il teorema del binomio per risolvere un problema, quindi, se la mia sol è giusta, lascio questo compito ad altri + bravi.
<BR>
<BR>Ah.......colgo l\'occasione per complimentarmi con Zarinelli Elia, mio compagno al CPF, ammesso a Pisa...complimentoni..se ci sei, batti un colpo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [naturalmente bravi a tutti]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 19:31 ]
<BR>y^(z-1)=y^z/z=x^n+y^n/rad_n(x^n+y^n)=rad_n [(x^n+y^n)^n-1]
<BR>Il tutto quindi divente
<BR>x^(n-1)+y^(n-1) >= rad_n [(x^n+y^n)^n-1]
<BR>elevando alla n:
<BR>[x^(n-1)+y^(n-1)]^n>=(x^n+y^n)^n-1
<BR>Non uccidetemi ma non ho molta voglia (nè capacità credo) per formalizzare questa soluzione. Usando il teorema del binomio si sviluppano le due potenze. Notiamo che la prima potenza possiede un termine in più della seconda. Si prendano 2 termini qualsiasi equidistanti dagli estremi nel primo sviluppo e 2 termini qualsiasi equidistanti dagli estremi nel secondo sviluppo (se si deve prendere lo stesso termine nella prima potenza, bene, non esistono numeri di questo tipo nella seconda; se si deve prendere lo stesso termine nella seconda potenza, questo deve essere un numero pari, lo si scinda in 2 numeri uguali). Si studino quindi + disequazioni, dimostrando che la somma dei 2 termini del primo sviluppo è sempre maggiore della somma dei 2 termini del secondo sviluppo. Raccogliendo di volta in volta un determinato multiplo x^k*y^k, ci si riduce ad espressioni del tipo (x^n+y^n)>=x^(n-1)*y+y^(n-1)*x ...sempre vera per la disequazione di riarrangiamento..
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<BR>Si può formalizzare il tutto studiando i generici termini, ma è la prima volta che applico il teorema del binomio per risolvere un problema, quindi, se la mia sol è giusta, lascio questo compito ad altri + bravi.
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<BR>Ah.......colgo l\'occasione per complimentarmi con Zarinelli Elia, mio compagno al CPF, ammesso a Pisa...complimentoni..se ci sei, batti un colpo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [naturalmente bravi a tutti]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 19:31 ]
La soluzione è buona, ma non è nè la più semplice nè la più elegante. Provaci ancora Sam! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Comunque vorrei far notare che è vera anche la seguente affermazione
<BR>Se
<BR>x(i) è reale positivo non nullo, per ogni i; z idem; n intero non negativo;
<BR>allora
<BR>Sum[{i,1...k},x(i)^n]=z^n
<BR>implica
<BR>Sum[{i,1...k},x(i)^(n-1)]>=z^(n-1)
<BR>
<BR>Ah, a proposito, che realzione c\'è tra Sum[{i,1...k},x(i)^(n-1)] e z^n?
<BR>
<BR>
<BR>Comunque vorrei far notare che è vera anche la seguente affermazione
<BR>Se
<BR>x(i) è reale positivo non nullo, per ogni i; z idem; n intero non negativo;
<BR>allora
<BR>Sum[{i,1...k},x(i)^n]=z^n
<BR>implica
<BR>Sum[{i,1...k},x(i)^(n-1)]>=z^(n-1)
<BR>
<BR>Ah, a proposito, che realzione c\'è tra Sum[{i,1...k},x(i)^(n-1)] e z^n?
<BR>
Aladin to the genius: "Oh, great spirit! My desire is that you do not fullfill my desire"
The genius was enlightened.
The genius was enlightened.
Ne sparo subito un\'altra, allora:
<BR>per ipotesi
<BR>z^(n-1)=(x^n+y^n)/z
<BR>sostituendo z>=(x^n+y^n)/ [x^(n-1)+y^(n-1)]
<BR>inoltre x^n<=(x^n+y^n)/2<=y^n
<BR>da cui x*rad_n(2)<=z<=y*rad_n(2)....considerando x minore di y
<BR>
<BR>da cui x<=z....
<BR>basta dimostrare che
<BR>(x^n+y^n)/x^(n-1)+y^(n-1)<=x...svolgendo i calcoli, questo si nota che è sempre verificato per x minore di y...come del resto diceva l\'ipotesi...
<BR>ho sparato stà sol in fretta, quindi magari è cannata
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 20:05 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 20:06 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 20:08 ]
<BR>per ipotesi
<BR>z^(n-1)=(x^n+y^n)/z
<BR>sostituendo z>=(x^n+y^n)/ [x^(n-1)+y^(n-1)]
<BR>inoltre x^n<=(x^n+y^n)/2<=y^n
<BR>da cui x*rad_n(2)<=z<=y*rad_n(2)....considerando x minore di y
<BR>
<BR>da cui x<=z....
<BR>basta dimostrare che
<BR>(x^n+y^n)/x^(n-1)+y^(n-1)<=x...svolgendo i calcoli, questo si nota che è sempre verificato per x minore di y...come del resto diceva l\'ipotesi...
<BR>ho sparato stà sol in fretta, quindi magari è cannata
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 20:05 ]
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 20:06 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-09-2003 20:08 ]