La strada più corta

[spugna]

Dato un parallelepipedo rettangolo, sia $L$ la lunghezza minima di un cammino (sulla sua superficie) che congiunge due vertici opposti. Determinare il minimo valore di $L$ che può essere associato a un parallelepipedo di volume unitario

[Drago96]

Sperando di non aver misinterpretato il significato di "vertici opposti" (che penso siano due vertici che non giacciono sulla stessa faccia) ho una soluzione, più algebrica che geometrica....

Siano $a,b,c$ i tre lati del parallelepipedo. Allora $a\cdot b\cdot c = 1$, e dobbiamo minimizzare $a+b+c$.
Diciamo che per AM-GM vale $\displaystyle{\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\leq\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow a+b+c\geq 3}$ e dunque il valore minimo è 3, che si presenta nel caso in cui il parallelepipedo è un cubo di lato unitario

[Mike]

un cammino lungo i lati non è conveniente; basta per esempio che fai le diagonali delle facce e ottieni un percorso più corto...

[Drago96]

un cammino lungo i lati non è conveniente; basta per esempio che fai le diagonali delle facce e ottieni un percorso più corto...

Hai ragione....
Chissà perchè ero convinto che si dovesse passare solo sui lati...

[Triarii]

A me torna radice di 5 (basta stendere le 2 facce sul piano per accorgersi che il cammino più breve è quello che passa per il punto medio dello spigolo), solo che non mi riesce dimostrare che con il cubo ho il cammino più corto (anche se "intuitivamente" lo è). Spero di non aver preso una cantonata come al solito

[karlosson_sul_tetto]

M non ci dovrebbero essere tre cammini più brevi?
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
$ \sqrt{(x+z)^2+y^2} $
$ \sqrt{(z+y)^2+x^2} $

[spugna]

M non ci dovrebbero essere tre cammini più brevi?
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
$ \sqrt{(x+z)^2+y^2} $
$ \sqrt{(z+y)^2+x^2} $

Ma se poni una certa condizione sai con certezza quale dei tre è il più corto...

[karlosson_sul_tetto]

M non ci dovrebbero essere tre cammini più brevi?
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
$ \sqrt{(x+z)^2+y^2} $
$ \sqrt{(z+y)^2+x^2} $

Ma se poni una certa condizione sai con certezza quale dei tre è il più corto...

Hai perfettamente ragione
Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $e $ x \cdot y \cdot z= 1 $ ma questo non porta a niente... Soltanto a una riformulazione del problema...
Per adesso sono arrivato ad un'approccio: presupponiamo che quella del cubo non sia il minimo. Quindi, esiste un'altro percorso su un'altro parallelepipedo:
$ \sqrt5 > \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
E dato che ci interessano solo i numeri positivi:
$ 5> x^2+y^2+z^2 + \frac{2}{z} $
Ma non sono riuscito ad andare oltre

[Drago96]

Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $ e $ x \cdot y \cdot z= 1 $

Non capisco il perchè di quella disuguaglianza...

Io ho provato a farlo così, anche se mi sa che ho dimenticato qualche condizione, perchè anch'io penso che la strada minore ci sia nel cubo, e viene $\sqrt5$...
Però questo è più piccolo, e tutti i passaggi mi sembrano leciti...

$\displaystyle{\sqrt{(x+y)^2+z^2}=\sqrt2\cdot\sqrt{\frac{(x+y)^2+z^2}{2}}\geq\sqrt2\cdot\frac{x+y+z}{2}=\sqrt2\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{6}\right)\geq}$
$\displaystyle{\geq\sqrt2\cdot\left(\sqrt[3]{x \cdot y \cdot z}+\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{2^6}}\right)=\sqrt2\cdot\left(1+\frac1 2\right)=\frac{3\cdot\sqrt2}{2}}$

[spugna]

Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $ e $ x \cdot y \cdot z= 1 $

Non capisco il perchè di quella disuguaglianza...

Io ho provato a farlo così, anche se mi sa che ho dimenticato qualche condizione, perchè anch'io penso che la strada minore ci sia nel cubo, e viene $\sqrt5$...
Però questo è più piccolo, e tutti i passaggi mi sembrano leciti...

$\displaystyle{\sqrt{(x+y)^2+z^2}=\sqrt2\cdot\sqrt{\frac{(x+y)^2+z^2}{2}}\geq\sqrt2\cdot\frac{x+y+z}{2}=\sqrt2\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{6}\right)\geq}$
$\displaystyle{\geq\sqrt2\cdot\left(\sqrt[3]{x \cdot y \cdot z}+\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{2^6}}\right)=\sqrt2\cdot\left(1+\frac1 2\right)=\frac{3\cdot\sqrt2}{2}}$

I passaggi non fanno una piega: il problema è che non possono verificarsi contemporaneamente tutti i casi di uguaglianza: infatti nel passaggio QM-AM si dovrebbe avere $x+y=z$, mentre in quello AM-QM è necessario che si abbia $x=y=z$, ma seguirebbe $x=0$, assurdo perché l'ipotesi è $xyz=1$

[Mike]

Non sempre la soluzione dev'essere una figura regolare...

[karlosson_sul_tetto]

Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $ e $ x \cdot y \cdot z= 1 $

Non capisco il perchè di quella disuguaglianza...

Se apro le parentesi diventa $ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Presupponendo che non sono tutti e tre uguali,abbiamo tre formule per i percorsi che passano attraverso i punti medi degli spigoli:
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2zy} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xz} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Chiamiamo z il lato più lungo, allora i tre polimeri: $ x^2+y^2+z^2+ 2xy $,$ x^2+y^2+z^2+ 2zy $ e $ x^2+y^2+z^2+ 2xz $, saranno uguali a parte l'ultimo monomero, che varia da polimero a polimero; il monomero sarà più piccolo quando non conterra il lato più lungo che noi abbiamo chiamato z.
Un'altro passo in avanti è il fatto che nessun lato dell'ipotetico parallelepipedo che abbia il cammino più breve del cubo sia maggiore di $ \sqrt5 $

[<enigma>]

Se apro le parentesi diventa $ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Presupponendo che non sono tutti e tre uguali,abbiamo tre formule per i percorsi che passano attraverso i punti medi degli spigoli:
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2zy} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xz} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Chiamiamo z il lato più lungo, allora i tre polimeri: $ x^2+y^2+z^2+ 2xy $,$ x^2+y^2+z^2+ 2zy $ e $ x^2+y^2+z^2+ 2xz $, saranno uguali a parte l'ultimo monomero, che varia da polimero a polimero; il monomero sarà più piccolo quando non conterra il lato più lungo che noi abbiamo chiamato z.
Un'altro passo in avanti è il fatto che nessun lato dell'ipotetico parallelepipedo che abbia il cammino più breve del cubo sia maggiore di $ \sqrt5 $

[karlosson_sul_tetto]

Che c'è?

[Triarii]

Non ho letto il tuo messaggio, però i monomeri in un forum di matematica... xD