rotazione cubo

[Mike]

Qual è il volume del solido ottenuto ruotando un cubo di lato unitario usando una diagonale del cubo come asse di rotazione?

p.s.: non conosco la soluzione, l'ho inventato sul momento.

[spugna]

Sia $d$ la diagonale usata come asse di rotazione, supponiamo di collocare i suoi estremi nei punti $\left( \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2},0 \right)$ di un piano cartesiano e osserviamo che gli altri 6 vertici del cubo formano due triangoli equilateri giacenti su due piani paralleli che dividono il cubo in tre parti, due piramidi rette a base triangolare e un altro solido a 8 facce (due triangoli equilateri individuati dai piani sezionanti e 6 triangoli rettangoli isosceli, metà di ciascuna faccia del cubo): delle piramidi sappiamo che gli spigoli laterali sono lunghi 1 (sono spigoli del cubo), mentre il lato di base è $\sqrt{2}$ (la diagonale di una faccia), pertanto la loro altezza, per Pitagora, è $\sqrt{1-\left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Dalla rotazione delle piramidi otteniamo due coni aventi la medesima altezza e il raggio di base pari al raggio della circonferenza circoscritta al triangolo di base, che è $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$, per cui il loro volume complessivo è $2\left(\dfrac{2}{3} \pi \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{4 \sqrt{3}}{27} \pi$
Rimane da calcolare il volume del pezzo centrale ruotato: dal momento che comprende una parte di tutte le facce del cubo, se lo sezionassimo con un piano perpendicolare a $d$ avremmo un esagono equiangolo tale che, prendendo tre dei suoi lati (uno sì e uno no), essi risultano congruenti: questo segue da due considerazioni: 1)il cubo, ruotato di $120°$, si sovrapporrebbe a se stesso, e lo stesso deve valere per le sue sezioni; 2) due lati opposti sono paralleli perché individuati su due facce opposte. In seguito alla rotazione intorno a $d$, ognuno di questi esagoni si trasformerà nella sua circonferenza circoscritta, il cui raggio, se chiamiamo $a$ e $b$ i lati dell'esagono, è dato da $\sqrt{\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}}$ (detto $ABCDEF$ l'esagono, il triangolo $ACE$ è equilatero e il suo lato si ottiene applicando il teorema di Carnot al triangolo $ABC$, poi per ottenere il raggio basta dividere per $\sqrt{3}$)
Tornando al piano cartesiano, indichiamo con $r(x)$ il raggio della sezione ottenuta intersecando il solido di rotazione col piano perpendicolare all'asse $x$ e passante per $(x,0)$: dobbiamo studiare questa funzione nell'intervallo $\left[ -\dfrac{\sqrt{3}}{6},\dfrac{\sqrt{3}}{6} \right]$ (valori per i quali il piano taglia il solido in questione e non una delle due piramidi). Prendendo il caso limite $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}$, l'esagono avrebbe tre lati nulli e si ridurrebbe al triangolo formato da tre vertici del cubo: in altre parole $a=0$ e $b=\sqrt{2}$; analogamente, per $x=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ si avrebbe $a=\sqrt{2}$ e $b=0$. Dal teorema di Talete segue che $a$ e $b$ sono proporzionali alle "distanze" di $x$ dagli estremi dell'intervallo, per cui $a=\sqrt{6} \left( x+\dfrac{\sqrt{3}}{6} \right)$ e $b=\sqrt{6} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{6}-x \right)
$, e sostituendo si ottiene $r(x)=\sqrt{\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+2x^2}$
Se definiamo $S(x)$ analogamente a $r(x)$, indicando però l'area anziché il raggio, si ha $S(x)=\pi r^2(x)=\pi \left( \dfrac{1}{2}+2x^2 \right)$
Si tratta ovviamente di un arco di parabola, che sottenderà un'area pari al volume del pezzo centrale: servendoci della formula del settore parabolico, otteniamo che quest'area è pari a $\dfrac{5 \sqrt{3}}{27} \pi$: aggiungendo il volume dei due coni otteniamo la risposta al problema
$\dfrac{5 \sqrt{3}}{27} \pi+\dfrac{4 \sqrt{3}}{27} \pi=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \pi$